本文来自微信公众号：中科院物理所（ID：cas-iop），作者：Cloudiiink，编辑：Cloudiiink，头图来自：视觉中国
人的一生难免会遇到很多尴尬的时候……
比如，上厕所没有纸了
其实这种欲哭无泪的情况还有很多，什么排队的时候我在哪条队伍哪条队伍就更慢，在电梯里突然肚子告急想要来一个忍无可忍的屁……今天我们就来聊一聊厕所里这件避无可避的尴尬的事情……
厕纸Toilet Paper
提起厕所，我们离不开厕纸。厕纸的制造过程其实和普通的纸张并没有太大的区别，但是因为用途不同，厕纸和其他纸巾被设计地很薄且脆弱。正因如此，它才能够满足人们日常擦拭皮肤（擦屁股）以及清洁物品表面等需求。
日本奈良时代的厕筹，旁边是用来对比大小的现代厕纸
在古代，纸还不那么地普及，只能用来书写的时候，人们普遍用可以重复使用的东西来清理自己的屁屁，比如我们熟悉的厕筹，还有动物毛皮、布、手等东西。但是随着时代变迁，纸越来越普及。我们熟悉的刘姥姥在大观园突然觉得要拉肚子，都是“忙地拉着一个小丫头，要了两张纸”。
卷纸的制造过程其一
现在，人们一般认为是盖耶提（Joseph C. Gayetty）发明了现代意义上的商品化的卫生纸。1850 年代是家庭清洁的黄金十年，洗碗机和洗衣机都在这段时期问世，但这两项发明都不如商品化的卫生纸那么具革命性。在此之前的美国人一般都用玉米壳以及从报纸、杂志和型录（汇集了商品信息的册子）上撕下来的纸，既好用又没花多少钱。美国一些型录出版商甚至开始在角落打个洞，像是默认他们的产品注定会挂在茅坑，当卫生纸用。
卷纸的制造过程其二
一般我们用湿韧强度代表纸张在完全润湿状态下的韧性指标。面巾纸一般要求具有湿韧性，毕竟不能一擦脸上的水，纸全变成渣渣糊在脸上了。而厕用卫生纸一般不允许具有湿韧性，就是为了防止在使用后纸张不易分解而堵塞卫生化粪池。丢入马桶很快就能分解掉。如果你家厕所因为你扔进去纸（而不是拉得太多）而堵了，那说明：你用错纸了。
两种不同的纸巾，在被水浸泡后表现地不尽相同
纸巾纸的国家标准是 GB/T20808-2011，其中卫生标准是 GB15979，而卫生纸的标准是 GB/T20810-2006。一般包装反面会有标准号，可以通过这个辨别。你也可以自己做实验，把纸巾丢到清水中，看是否会变成渣渣来辨认。
包租婆，厕所又没纸啦！Warning! No Toilet Paper!!!
为了避免厕所没纸的尴尬，在装修家里的卫生间时，我们可以安装一个厕所双纸巾架。大多数家庭厕所只有一个独立的纸巾架。不管怎么说，只有一卷纸巾实在是没啥安全感，万一前面一个人用的纸巾多了一点，而又来不及换下一卷纸巾的时候，就只能面对无纸可用的窘境。很多人有一个好习惯，在看到纸巾快要用完的时候，会在马桶水箱上放一个新的。但是既然如此，我们为啥不做一个可以放两卷纸的支架呢？
一个纸巾架真的毫无安全感，因为你根本想不到会因为什么原因上厕所没纸……
不过目前多了一卷纸并没有彻底解决无纸可用的问题。万一两卷纸都在同一时间用完了，怎么办？虽然纸巾清空比起之前多了一倍的时间，但是我们还是遇到同样的问题：包租婆，厕所又没纸啦！在厕所拥有两卷纸巾以后，我们的问题其实变得复杂了一些，选择哪卷卫生纸作为我们的“擦屁屁纸”，成为了整个问题的关键。
经过一段不长的思考和实践以后，我们可以使用三种不同的“擦屁屁纸选择算法”：大策略，小策略以及随机策略。
大策略：始终从最大的卷中取纸（如果一样大，就选近的那个）
小策略：始终从最小的卷中取纸（如果一样大，就选近的那个）
随机策略：放弃思考，随机选择、
不知道你平时是哪一种策略呢？
随机策略是最自然的，但是如果我们的选择真的是随机的话，我们会平等地选择两个卷，所以它们会被几乎同时地清空……所以为了后来进入厕所的人，也为了我们自己，我们不能草率地做出用哪一卷纸的决定。
如果我们使用大策略，假设我们有 A 和 B 两个卷，但是 A 更大一点，那么这种情况下，我们会先用大的那一卷 A，直到 A 和 B 两个卷一样大。所以 A 和 B 两个卷几乎是匀速地减少，也就是……我们依旧没有办法摆脱两卷纸同时被用完的宿命……
小策略实际上才是最为正确的选择。因为我们始终使用较小的那个卷，因为它会越来越小，直到耗尽，然后我们再切换到另外一个全新的卷纸。这样的好处不言而喻，在一卷纸用完以后，另一卷纸还剩足够长，给人们留下了充足的更换另一卷纸的时间。
建个模型吧 Modeling
虽然经过我们的证明，小策略是一个很完美的避免大家进入厕所以后无纸可用的尴尬策略，但是现实往往很残酷，并不是所有人都意识到了这一点。有的人依旧会选择大的那个，有的人依旧会随机地选择自己用哪卷纸。
为了一般化上面的情况，我们可以定义在所有进入厕所中的人中会有 q 的概率选择小策略，而会有 p 概率的人选择大策略。当然，p + q = 1。对于随机选择的人，其实就对应上面模型中的 q = 1 / 2。
怎么来衡量用纸尴尬情况发生的可能性呢？令 Mn(p) 为两个长度均为 n 的卷纸在一个卷纸用完以后，另一个卷纸的长度的数学期望。如果这个 M 越大，就意味着越安全，留给我们换一卷新的纸的时间也就越多。如果这个 M 越小……我们就只能自求多福不要遇到这种尴尬的情况了……
高德纳（Donald Ervin Knuth）教授为现代计算机科学的先驱人物，创造了算法分析的领域，在数个理论计算机科学的分支做出基石一般的贡献。在计算机科学及数学领域发表了多部具广泛影响的论文和著作。1974年图灵奖得主。
这个这么关系到大家生活幸福程度的事情，怎么可能没有科学家关注过呢？在 1984 年，高德纳（Donald Ervin Knuth）教授就研究过 Mn(p) 的具体表达式，以及其一些性质。我们可以通过一些简单的情况来熟悉分析的方法。
假设卷纸只有 1 格。那么不管用什么策略，我们都会用掉一格纸，所以 M1(p) = 1。
假设卷纸只有 2 格。我们用 (2, 2) 表示目前卷纸的状态，那么和前面类似，不管用什么策略，我们都会用掉一格纸，所以这时变成了 (2, 1)。接下来我们有 q 的概率变成 (2, 0)，然后 p 的概率变成 (1, 1)。所以最终剩余长度的数学期望为 M2(p) = 2 * q + p = 2 - p。
当 n = 10 时候的表达式，虽然看上去很复杂，但是分析方法和上面其实是一致的
一般的情况我们可以用下面的公式表示这种卷纸状态（也就是前面的长度对）的变化情况。当然，卷纸状态和 M 的值是一一对应的。
如果两个长度不同，用不同的概率变成两种不同的状态。如果两个长度相同，那么就选一个长度减 1。如果一个已经变成了 0，那么剩余长度就是我们数对中另一个数。
在 Knuth 的论文中，他讨论了在一般的情形下，一个卷纸空了以后另一个卷纸最后剩余长度的数学期望是多少。在一个并没有什么约定的社会中，大家如果随便选用一个卷纸，假设卷纸总长度为 n，那么最后一卷的剩余长度会在 n 的平方根量级上。更为具体的表达式为
以常见的某国产品牌卷纸为例，一卷全新的卷纸长度为 240 格。在随机策略之下，在一卷纸用完以后，另一卷纸将会平均只剩下 17.5 格。这实在是一个很不妙的信号……
某国产著名纸巾品牌的天猫页面
如果我们模拟一下 100 格的卫生纸在不同的大策略使用者概率情况下的剩余长度，我们会发现，随着小策略的人数比重的增加，一卷纸用完以后，另一卷纸的长度会快速地增加。
横轴为选择大策略的概率，纵轴为剩余长度
需要注意的是，在上面模型的讨论中我们实际上是假定了每个人一次用一格纸。
结 论 Conclusion
说了这么多，其实如何避免厕所无纸可用是一个需要大家共同努力的事情，总结起来其实就是……
卷纸千万条，策略第一条，
选大不选小，别人两行泪。
参考文献:
[1] Donald E. Knuth. The American Mathematical Monthly. Vol. 91, No. 8 (Oct., 1984), pp. 465-470
[2] Toilet Paper - Wikipedia
[3] 关于厕纸你不可不知的 36 件事
[4] How does the author find Mn(p) in the Toilet Paper Problem
[5] 发明厕纸前，古人用什么擦屁股？
[6] 为什么国外人大多将厕纸丢进马桶，而中国人不习惯这样？
[7] Toilet Paper Algorithms: I didn't know you had to be a computer scientist to use toilet paper.
[8] RV Toilet Paper Test
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