永恒的联系
2019-03-11 08:03

永恒的联系

本文来自微信公众号:新原理研究所(ID: newprincipia)。头图来自:东方IC。



1915年,爱因斯坦刚刚发表了广义相对论,这是一个全新的引力理论,它将引力与弯曲的时空联系在一起。当时,在德国哥廷根的两位数学巨人——希尔伯特(David Hilbert,在1900年提出的23个数学大问题推动了整个20世纪数学的发展)和克莱因(Felix Klein,知名于克莱因瓶)都醉心于研究这个新的理论。


然而,当他们试图用广义相对论的框架写下一个能量守恒的方程时,却遇到了一个无谓的重复,就好比写下方程“x - x = 0”一样,虽然是对的,但却没有任何物理意义。


他们被这个问题难住了,因此希尔伯特和克莱因邀请了艾米·诺特(Emmy Noether)到哥廷根帮助他们破解谜题。诺特欣然接受了挑战,并很快就证明了一个定理,使能量守恒问题迎刃而解。在这个过程中,她还发现了另一个定理,最终产生了更深远的影响,那就是诺特定理


1918年,艾米·诺特发表了论文 Invariante Variationsprobleme,证明了两个对物理学非常重要的定理。第一个定理常被称为“诺特定理”,第二个定理也常被物理学家使用,特别是在广义相对论的背景下。| 图片来源:Wikipedia


谁是诺特?


难以想象的是,被世界上最负盛名的数学家邀请来解决爱因斯坦新理论所遇到的难题的诺特,在当时的数学领域都还没有一份实实在在的工作,也几乎没有接受过什么物理领域的教育。但她发表过一些重要的论文,使希尔伯特判断只有她具有足够的专业知识和洞见能够解决广义相对论的问题。


1882年,诺特出生于德国的埃尔朗根,她的父亲是数学家马克斯·诺特(Max Noether)。她希望追随父亲的脚步,但不幸的是,在她上大学的年纪,德国大学并不招收女学生,所以她只能在教授的允许下旁听。不过最终,她在期末考试中取得了非常优异的成绩,而获得了学士学位。


1904年,她获准在埃尔朗根大学攻读博士学位。她用了三年的时间获得了博士学位,然后在那里持续了近8年的没有薪水、没有正式职位的工作。她只能依靠家人的经济支持度日,偶尔会顶替父亲当代课老师。即使是在那趟哥廷根之旅后,她还是继续做着没有薪水的讲师工作。


在多年的“志愿”性质的工作之后,诺特终于在1922年成为哥廷根大学的一名非终身数学副教授,并在一年后开始领到一份微薄的薪水。1933年,她失去了这份工作,因为她和其他犹太人被纳粹德国驱逐出了学术界。不久之后,她前往美国,并在爱因斯坦的帮助下在宾夕法尼亚州的布林茅尔学院找到了一份工作。然而,仅在18个月后便传来了噩耗,她因卵巢囊肿的手术并发症而去世。


诺特对代数和物理学都产生了非凡的影响。在数学眼中,她是20世纪最伟大的数学家之一,她看待数学的独特视角影响了许多人;在物理学家眼中,她提出的定理是现代物理学的指路明灯。爱因斯坦曾说过:“她是从女性接受高等教育后出现的最富创造力的数学天才。” 


在她53年的生命里,她用了大量的时间与阻碍她学习数学的体制抗争。如果社会和命运能对一位这样的人更仁慈些,我们很难想象她还能做出多么伟大的成就。然而,她短暂的一生所作出的研究成果已足以确保她在科学殿堂中的崇高地位。


诺特定理


基本上,诺特定理说的是自然界中的每一种“连续”对称都有相应的守恒定律,反之亦然。


这里的对称是指能让一个物体或系统维持不变的操作。将正方形旋转90度,正方形看起来没有变化,这是一个“离散”对称的例子。而圆则具有连续的对称性,因为无论对它旋转任何角度,都不会改变它的外观。这就是诺特定理所适用的对称性。与此同时,守恒定律指的是一个物理量会维持不变,不会随时间的流逝而变化。例如,能量不能被创造也不能被毁灭,它总是守恒的。


在诺特之前,对称性与守恒量一直是两个被单独对待的概念。诺特定理为寻找给定的守恒定律的对称性提供了一个明确的数学公式,反过来,也可以从对应的对称性中找到守恒定律。    


让我们来看看这个定理的作用:想象一个冰球在一片完全光滑、无摩擦且无限大的冰面上滑行,再假设没有任何外力作用在这颗冰球上。在这样理想的条件下,冰球会一直以恒定的速度沿直线滑。它的动量(等于质量×速度)是恒定的。唯一能使冰球改变路线,或者让它加速、减速的是空间本身发生变化——在这个情景下是冰面发生变化。然而如果冰面仍保持光滑,空间也维持不变,则一切都不会改变。


诺特定理表明,冰球的动量守恒与空间的平移对称性有关,换句话说,物理不受均匀空间内的线性运动(或平移)影响。冰球在光滑的冰面上的任何位置都以同样的方式运动。


在牛顿摆中,当一个球击中另一个时,另一端的球会向外飞,以保持动量的守恒。为什么?这是因为空间的对称性。


同样,诺特定理表明旋转对称(或者说旋转不变性)会导致角动量守恒(角动量测量的是物体旋转的程度)。换句话说,物理学没有偏爱的方向。你在一张桌子上做一个实验,然后把桌子旋转45度或任意角度再做实验,实验结果都是一样的。


根据角动量守恒,当一位溜冰者把她的手臂收起时,她的旋转速度会加快,而这是因为旋转对称性。


诺特定理还将“时间平移”的对称性与能量守恒联系起来,所以物理学也不关心你是在今天、下周三还是别的什么时候进行一个实验。


火箭发射将燃料中的化学能转换为动能和势能。由于时间对称,总能量保持不变。


在诺特定理出现之前,物理学家早就熟知动量守恒、角动量守恒和能量守恒,这些都是经典力学的基本原理。但他们不知道的是,这些神圣的法则有一个共同的根源,它们都与特定的对称性有关。诺特定理将看似不相关的概念,简单而优雅地联系在一起:它揭示了守恒定律与自然界对称性之间的密切联系。从亚原子粒子到黑洞,我们现在对物理世界的理解,很大程度上依赖于这个定理。


追求统一


诺特定理不仅适用于时间或空间的旋转和移动这些直观的对称性,而且还适用于更加抽象的对称性。例如,在电磁学理论中的一个核心原则——电荷守恒,就源于与粒子自旋相关的对称性。再比如,一种能让电子代替中微子、中微子代替电子的名为同位旋的对称性,帮助物理学家在20世纪60年代发展出了能将电磁力和弱力统一为电弱力的理论。这里的守恒量是“超荷”,它是一种与电弱力有关的荷,类似电荷之于电磁力。之后,物理学家为使原子核中的质子和中子结合在一起的强核力设计了一个理论,这种力的核心是所谓的色对称,这里的“色”指的是构成了质子和中子的夸克的一种属性。


在20世纪70年代,物理学家把所有已知的粒子(包括一些当时尚未被证实存在的粒子,如希格斯玻色子)和控制它们相互作用的力(电磁力、弱力、强力)放进一个单一理论框架——标准模型中。



这是一个非常成功的模型,而诺特定理是构建这个模型的最基本工具。在量子力学中,物理学家识别出两个或三个被同一种对称性束缚的粒子,然后判断由此推断出的守恒定律是否成立。这样就可以了解它是否是自然界的一种真实对称性,标准模型就是通过这样一个逐步累积的过程建立起来的。


超级遗产


标准模型极其成功,它所预言的所有基本粒子都已经被找到,最后一个被找到的是希格斯玻色子(2012年)。尽管如此,它并不完美,还有一些问题是它无法解释的,比如暗物质、等级问题等等(详见《物理学上空飘着多少朵乌云》)。因此,物理学家仍在寻找新粒子以及更深、更广的对称性,在此过程中,诺特定理继续发挥着关键作用。


这几十年来,物理学家的一大目标是寻找超对称的迹象。在标准模型中,粒子分为费米子(比如电子和夸克)和玻色子(负责传递基本力的规范玻色子和希格斯玻色子)。超对称理论假定,在费米子和玻色子之间存在着隐藏的对称性。如果超对称性正确,那么每一个已知的费米子都有一个尚未被观测到的玻色子“超伴侣”,同样,每一个已知的玻色子都有一个尚未被观测到的费米子“超伴侣”。



一种与这种假设的对称相关的可能性是所谓的R宇称守恒,它指的是最轻的超对称粒子必须是稳定的,并且永远不会衰变。如果R宇称确实守恒,那么每个普通粒子的不可见超对称伴侣最终都会衰变为最轻的超对称粒子,并永远存在。无论这种粒子是什么,都将是大量存在的,因此这也可能是暗物质的一个优秀候选。


这些年来,物理学家们一直希望大型的粒子加速器能够找到这种假想中的超对称粒子,只可惜一直没有发现它们的踪迹。


照亮黑洞


诺特定理不仅对寻找新的粒子至关重要,它能延伸扩展到物理学的所有分支。这边举一个与黑洞有关的例子。


在很长的一段时间里,物理学家都认为任何东西一旦落入黑洞的控制范围内,就不可能有机会逃出。但霍金却在1974年发现,事实上黑洞具有温度,并且可以产生辐射。而这也引发了一个非常棘手的问题,黑洞辐射意味着它最终会蒸发殆尽,这就有可能摧毁黑洞中曾经包含的有关它如何形成、如何随时间演化的所有信息。霍金设想的这种信息的永久性丧失令理论学家们感到不安,霍金本人也是其中之一,因为它违反了一条量子物理学珍视的定律——信息,就像能量一样,总是守恒的。这个难题被称为黑洞信息悖论,是许多理论物理学家绞尽脑汁想要解决的问题。



几年前,哈佛大学物理学斯特鲁明格(Andrew Strominger)发现了无数与软粒子有关的对称性。软粒子是没有能量的粒子,这些粒子可分为两种:软光子(传递电磁力)和软引力子(传递引力)。斯特鲁明格与剑桥大学的佩里(Malcolm Perry)以及霍金曾发表过一篇论文表明,落入黑洞的物质会给黑洞的事件视界(这是一个有去无回的边界,即使是光进入了事件视界也无法逃脱)添加软粒子。这些粒子实际上等同于存储信息的记录设备,提供了落入了黑洞的物质的线索。


他们提出的想法为解决信息悖论提供了新的策略。存在于事件视界的软粒子以及伴随它们而来的对称性,或许能指向一条摆脱这种困境的道路。斯特鲁明格说:“通过诺特定理,我们很快意识到存在着与新的对称性相对应的守恒定律,这些对称性对黑洞的形成和蒸发施加了非常严格的限制。”不过这项工作仍处于初期阶段。


这只是诺特定理发挥重要作用的另一个例子,而且这样例子还在不断增加。


对于现代物理学,或许如何强调诺特的工作的重要性都不为过。对称性和与恒定律之间的关系是一个永无止境的故事,它们之间的联系就是我们描述世界的方式。虽然没有人知道未来会发生什么,但没人敢轻视诺特定理所具有的强大力量。


扩展阅读:

1. ima-lms-joint-meeting-noether-celebration

2. lms.ac.uk/sites

3. the-female-mathematician-who-changed-the-course-of-physics-but-couldnt-get-a-job

4. emmy-noether-theorem-legacy-physics-math

5. plus.maths.org

6. nature

7. arxiv.org

8. emmy-noether-the-most-significant-mathematician-youve-never-heard-of

9. math.umn


本文来自微信公众号:新原理研究所(ID: newprincipia)。头图来自:东方IC。

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