困扰数学家近80年的无理数难题被证明了
2019-09-22 22:01

困扰数学家近80年的无理数难题被证明了

本文来自微信公众号:原理(ID: principia1687),作者:佐佑,封面来自:东方IC         


 1. 


有理数是简单的数,用来计数的数以及所有能写成分数的数字都是有理数。但实际上,在数字的王国中,我们熟悉的有理数是少数的存在,绝大多数都是无理数。无理数是那些没有尽头、可以永无止尽地持续下去的数字,比如π、√2等等,它们不能被写成分数,无处不在却又难以捉摸。


如果我们不能简单、准确地表述无理数,那么我们可以如何近似?通常,当我们需要用到这些数字时,会四舍五入地取到它们的某一位小数,例如π通常被取为3.14,等于157/50。但是,另一个分数22/7似乎更接近π的值。如此一来,就引出了一系列问题:究竟这些近似可以多精确呢?这种精确性是否存在一个极限?任意形式的分数都可被用来近似吗?


1837年,数学家Gustav Lejeune Dirichlet发现,只要你对误差不太在意,就很容易找到无理数的近似值。他证明了对于每一个无理数来说,都存在无穷多个分数与这个数字相近。从某种意义上看,这是对有理近似的一种狭隘表述:如果用来近似的分数的分母可以是任意整数,且如果可以允许的近似误差为1除这个以这个分母数的平方,那么每个无理数都可以近似成无穷多个分数。


但是,如果你希望分母是从整数的某个子集中抽取的数,比如所有质数,或者所有的完全平方数,情况又会如何呢?再比如,如果你想让近似的误差是某个特定的值,那么在这种特殊的条件下,我们是否还能得到无穷多个近似分数?


2. 


1941年,物理学家Richard Duffin和数学家Albert Schaeffer提出了一个简单的猜想来回答这些问题。当要对无理数进行近似时,首先要选一个无限长的分母序列,这可以是一个任意数的列表,比如所有奇数、所有偶数、所有10的倍数,或者所有质数等等的序列。


接着要确定的就是对于列表中的每个数字来说,想要以多高的精确度来近似一个无理数。比如以n/2为形式的分数可以近似任何近似“误差”在1/10以内的数;以n/10为形式的分数可以近似误差在1/100以内的任何数。


直觉上看,如果所允许的误差越大,那么实现近似的可能性也就越大;允许的误差越小,那么实现近似也就变得越难。接下来,就可以基于已经有的分母序列和已经设定好的“误差”大小,探寻是否能找到无限多个分数来近似所有无理数吗?


Duffin和Schaeffer根据误差的大小来度量什么时候可以这样做。如果所选择的误差总体上足够小,那么随机选择的无理数就只有有限个好的近似:它可能会落入具有某些特定分母的近似值之间的间隙。但是如果误差足够大,就会有无穷多个能产生一个很好的近似分数的分母。在这种情况下,如果误差也随着分母的增大而减小,那么就可以选择一个尽可能精确的近似值。


因此Duffin和Schaeffer猜想这样的结果就是要么你所选的分母列表能以需要的精确度对所有无理数实现近似,要么就一个也不能近似。也就是说你要么能得到所有,要么一无所有,不存在中间地带。


这在有理近似中是一个非常普遍的表述,数学家大多认为Duffin和Schaeffer提出的标准是正确的。然而,要证明它的正确性却要困难得多,这个问题的证明也成为了数论中的一个具有里程碑意义的开放性问题。


3.


假如你现在想要近似所有0到1之间的无理数,你选择用的分母是1到10之间的整数,那么可用的分数就是:1/1、1/2、2/2、1/3、2/3……9/10、10/10。但是在这些分数中,有些数字是重复的,比如2/10=1/5、5/10=1/2等等。


因此,在Duffin-Schaeffer猜想中含有一个专门用来计算每个分母可以给出的唯一分数(最简分数)的数量的项,这个项被称为欧拉函数。比如10的欧拉函数是4,即1/10、3/10、7/10和9/10这四个数字。接下来是要计算出每个最简分数可以近似出多少无理数,这取决于可允许的误差大小为多少。


一旦确定了分数并设置好了误差大小,就可以开始寻找无理数了。我们可以在一条0到1的数轴上标记出这些分数,再把误差项描绘成从分数两边延伸出来的“网”。根据设定的条件,所有被网住的无理数都得到了很好的近似。那么接下来的一个大问题就是:被网住的无理数究竟有多少个?


首先,在一条数轴上的任意区间内都包含着无穷多个无理数,因此我们无法用一个精确的数值来表述被网住的无理数数量。所以数学家转而研究被每个分数网起来的无理数总数的比例。Duffin-Schaeffer猜想是把每一个近似分数所网住的无理数集合的比例相加:如果这个和趋于无穷,那么就意味着已经近似了所有无理数;如果这个和停在一个有限的值上,那就意味着你没有对实现任何无理数的近似。因此,这是一个关于无穷序列究竟是发散还是收敛的问题。


终于,2019年夏,来自牛津大学和蒙特利尔大学的数学家James Maynard与Dimitris Koukoulopoulos在arXiv上发表了他们的证明,让这个存在了近80年的难题得到了解决。


4.


Maynard是一个数论学家,他通常的研究课题与质数有关。在Maynard与Koukoulopoulos之前,多数相关研究都把这个问题归结为分母的质因数问题。但Maynard建议把这个问题看作是数字上的阴影:比如在一根数轴上,把分母为100的分数附近的所有无理数都涂上颜色,如果误差足够大,那么每一个其他以其他数字为分母的分数也可能覆盖这些无理数,这样一来,几乎每一个无理数都会被着色无数次,如此不就导致了重复计数吗?


对某些近似数来说,这种重复计数的问题并不大,比如分母是由质数组成的分数。但对分母为其他的序列的情况来说,重复计数就会带来很大的挑战。当两个分母有很多相同的质因数时,就会出现这种重复计数的情况。例如,分母10和100都有质因数2和5,能以n/10的分数形式近似的数与能以n/100的分数近似的数具有高度的重叠区域。


Maynard和Koukoulopoulos借用一堆点的图形解决了这个难题,不同的点代表了用来近似的分母,如果两个点有许多共同的质因数,就将这两个点连接起来。如此一来,图的结构就编码了这些分母所近似的无理数之间的重叠。利用这种方法,他们不仅为这个猜想提供了证明,而且还能为其中所涉及到的结构问题提供清晰的可视信息。


数学家们认为,Maynard和Koukoulopoulos取得了数学上最难的一项成就之一。不过鉴于二人所发表的证明长达44页,并且非常复杂,其他数学家可能还需要几个月的时间才能全部理解这种方法中的所有细节。


论文链接:https://arxiv.org/pdf/1907.04593.pdf  


参考链接:

[1] https://www.quantamagazine.org/new-proof-settles-how-to-approximate-numbers-like-pi-20190814/

[2] https://www.scientificamerican.com/article/new-proof-solves-80-year-old-irrational-number-problem/

 

本文来自微信公众号:原理(ID: principia1687),作者:佐佑      

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