综艺局中局中局中局
2019-10-21 13:03

综艺局中局中局中局

本文来自微信公众号:Wait But Why(ID:wbwtimurban),作者:Tim Urban,编译:谢熊猫君,编辑:Vivid & Las,封面来自原文


Jeopardy!是美国的一档老牌问答类综艺节目,参赛者靠答对问题来获得积分奖励,积分最高的选手不但能够以卫冕者身份继续参加下一场比赛,还能够获得获得等值于积分的奖金。


该综艺节目分为三个环节,分别是 Jeopardy、Double Jeopardy、Final Jeopardy。在 Jeopardy 和 Double Jeopardy 环节,三位参赛者有数次机会根据题目给出的线索答题,答对了可以获得线索对应的积分,答错则扣除对应积分。而在最终的 Final Jeopardy 环节,参赛选手可以各自自行选择想要下注的积分,如果答对则能获得下注积分的奖励,答错则扣除下注的积分。


Tim Urban 这篇短文,讨论的就是之前连胜 32 场的 James Holzhauer,最终输掉比赛时充满着争议的 Final Jeopardy 下注。


和很多读者一样,我最近对 James Holzhauer 在 Jeopardy 节目上的连胜表现非常着迷。James 有点古怪,他的表情有时候是这样:



或这样:



尽管如此,他非常讨人喜欢,给人的印象深刻地离谱。随着比赛的继续,我发现自己越来越像粉体育明星一样粉他。当他在 Double Jeopardy 环节落后时,我会身子前倾,坐到了座椅边缘,为他呐喊“加油”,当他答对的时候,我也会松一口气。在 Final Jeopardy 环节中,每当到了必须要答对问题才能连胜的关键时刻,我都会为他最后能答对而像疯子般地挥拳怒吼。


可惜,6 月 3 日的那场节目中,他伤透了我的心——离打破节目历史最高总奖金纪录就差一场,难以忍受的痛。


James 真的非常非常擅长 Jeopardy。在他参赛前,这档节目过去55年中最高的单场获胜金额是$77,000。James不仅连胜了 32 场(仅次于历史上最多的连胜77场),而且他的场均获胜金额也高于之前的 $77,000 纪录。现在,他在“有史以来最高的单日 Jeopardy 积分”中排名前 16 位。


看到某人在某事上比其他所有人都强那么多,真的是件有趣的事。这和我喜欢看专业体育赛事的原因一样——看 James 参加 Jeopardy,就像看库里射门得三分一样。唯一的区别是,库里一旦出现一场糟糕的比赛,他就会被终身禁赛,再也看不到他踢球了,这样的规则使得看 James 更加有趣。


在 James 卫冕失败后,出现了很多关于他的 Final Jeopardy 下注额度的讨论,而这就是我这篇文章想要讨论的话题,我的想法是:


注:对于不熟悉节目规则的读者:Final Jeopardy 是节目的最后一个环节,只有一道题。仅在得知一般主题类别之后,每个参赛者都可以对问题进行任何累积总额范围内的下注。答对了,就能额外获得下注等值的积分;答错了就失去下注积分。


Final Jeopardy 结束后,积分第一名的参赛者可以获得最后积分等额的奖金,并且第二天继续以卫冕者身份参赛。第二名只能获得 $2000,第三名只有 $1000,然后被淘汰。


No.1 Scenario A


如果你是参赛者,最简单的 Final Jeopardy 场景:进入本轮比赛时,第一名积分超过第二名积分的两倍。我们称这为场景 A:



如果你是场景 A 中的第一名,你只需要计算第二名积分的两倍,这是你“任何情况下都不要越过的底线”。



假设你有超过50%的可能性答对题目,你的最佳策略是在不越过“底线”的情况下尽量高地押注,这样一旦答对能赢的奖金最多。所以在上述情况下,你应该下注 $1999。如此一来,在最糟的情况下(你答错题目,第二名答对),你依然能保证以 $1的优势获胜。



如果你是场景A中的第二名,你已经失去了获得第一的资格,没人会关心你怎么玩下去,祝你玩得愉快。


因为James实在太擅长Jeopardy了,他几乎次次都是以第一名的身份进入到场景A,他的积分通常会(远远)高于第二名的两倍。在这些情节中,Final Jeopardy是很轻松毫无悬念的剧情,除了去看James那天的总收入有多高。


No.2:Scenario B


场景B就复杂一点。这个场景中,第二名的积分超过第一名的一半,但是少于第一名的三分之二。像这样:



如果你是场景B中的第一名,你会想要保证自己在答对题目的情况下能够获胜,这时候你就要考虑最糟的可能性:第二名押上全部积分,并且答对题目。第二名积分的两倍,就变成了“我答对题目时必须越过的天花板线”。在上图的场景中,“天花板线”是 $12000,所以你的押注不能少于 $2001。



你同样想要保证当你和第二名都答错的情况下,你依然能够获胜。这时的最糟情况就变成了:第二名答错,但因为某种奇怪的原因,一分钱也没下注。这时候,第二名在环节开始前的原始积分就成了“不管怎样都不要越过的底线”。在上图的场景中,你的最高押注金额为 $3999。



假设你不讨厌该问题的主题类别,有超过半数的可能性答对,最理性的押注金额就是最高 $3999。


假设第一名发挥最佳,并按照上述范围下注,第二名在场景B中的计算也挺简单。按照上面的押注策略,第一名只要答对,胜负就成定局。第二名答错,胜负也很明显。


作为第二名,想要逆袭成功的唯一可能就是第一名答错,第二名答对——因为只有在这种情况下,第二名的押注才有意义。并且希望在这种情况下最终获得最高总分,因此第二名的策略就是押上全部积分。


直到这里,我想大家对这些规则不会有太多争议。最后的场景C才是真正复杂的。


No.3:Scenario C


在场景C中,第二名的积分超过第一名的三分之二。



传统的策略是第一名想要在答对题目的情况下确保获胜,所以按照和场景B类似的计算方法,第一名的“必须越过的线”是$16000,最低下注额是 $6001。



知道第一名参赛者会这样思考的第二名,会思考下面这四种情况:



假设第一名最低下注 $6001,一旦他答对了,第二名就没有获胜可能。而如果第一名答错,第二名答对,第一名的积分会低于第二名的初始积分,这样第二名不管下注多少,都能逆袭成功。


但是如果第一名和第二名都答错了呢?



在场景B中,第一名是比较惬意的,双方都答对(绿格子和黄格子)或者都答错(蓝格子)的情况下都能赢。但是在场景C中,就没有那么惬意了——当第一名为了保证两人都答对的时候可以获胜而下注时,下注额度也使得他在答错的情况下分数会低于第二名的原始积分。



这给了场景C中的第二名额外的获胜机会——第二名知道第一名至少会下 $6001,第二名就会搏一把,争取能在两人都答错的时候使得自己的积分高过 $3999,也就有了一个 $4000 的最高下注额。



在上述情况下,第二名同样也想保证在自己答错的情况下,仍然高过第三名积分的两倍,也就是 $6000。所以第二名的理想下注额是 $1999,这意味着在第一名答错的情况下,不管第二名和第三名是否答对,第二名都能获得胜利(蓝色方格)



在周一的比赛中,通常以场景A或B第一名身份进入Final Jeopardy环节的James,处在场景C第二名的位置,处在第一名的对手是实力强劲的Emma Boettcher。他们的分数如下:



James的押注策略和我上面描述的一致。他推测Emma会至少押注 $20201,从而保证超过 Emma 的“必须越过的天花板线”(James积分两倍:$46800),这样 Emma 才能保证在两人都答对的情况下能够获胜。


按照这个推测,Emma 如果答错,她的积分将跌到 $6399 或者更低。James 唯一的逆袭机会是 Emma 答错的情况,于是 $6399 变成了 James 的“底线”。他的最高下注额也就被限制在了 $17000。这样的下注额能够保证在Emma答错的情况下,James 的积分会超过 Emma。


但就好像我们上面描述的一样,积分第三名的参赛者,Jay Sexton 也存在一线生机。Jay 的积分的两倍($22000),变成了 James 的第二条“底线”——所以 James 的押注额度是“完美”的 $1399。



这样的押注下,Emma 答错,James 就能逆袭,而Jay 无论如何不能翻身,James 本身是否答对就无所谓了。第二名不是最好的开局,但是 James 给自己创造了最佳的逆袭机会。


No.4:但真的是这样吗


这个时候的战术思考就变得有趣了。James在赛后的采访里面是这么解释他的逻辑的:



这和上面我写到的传统逻辑是一致的。这种场景 C 第二名独有的战术,收益是能够在第一第二名都答错的情况下获得胜利。最后的结果也没有太多的反转,Emma 确实下了 $20201 来防止 James 的全额押注天花板线,James 则是按照传统逻辑下注 $1399,两个人都答对了题,最后 Emma 获胜。


但是这一部分的假设真的对吗?


“ 她肯定会按照我全额押注两倍的天花板来押注至少 $20201。”


让我们仔细思考一下。如果你是 Emma,你知道 James 是个很有效的策略家,肯定已经分析过了 Final Jeopardy 的各种场景。你能够猜到 James 会采用上面的逻辑,给出 $1399 这样一个很小的押注来确保两人都答错时他能够逆袭。如果 James 根据自己猜测的你 (Emma)的做法而做出 $1399的小押注,你是有机会把“两人都答错”(蓝色格子)和“我答错,他答对”(橙色格子)这两种情况的优胜权抢回来了,只要你(Emma)的押注金额比传统逻辑的低就好了。


换句话说,就像 James 会假设 Emma “肯定会按照我全额押注两倍的天花板来押注至少 $20201”一样,Emma 可以进一步假设“James 肯定会假设我会押注至少 $20201”。Emma 的这个假设意味着她会推测出 James 的押注金额是 $1399 ——这代表着 James 即使答对了,最终积分也只有 $24799,还没有 Emma 的初始积分 $26600 那么高。所以 Emma 只要一分不下注,就能赢了。



这就是 Emma 的局中局。



如果你是 Emma,你知道 James 是个很聪明的人,你还知道 James 认为你(Emma)是个很聪明,但是没有聪明到想到这个局中局的对手的话,这个局中局将是个不错的策略。这样有风险,万一 James 没有 $1399 的小额下注,你输掉比赛的概率就很大了。


但是传统的天花板线逻辑也有风险,你(Emma)必须要答对题目才能赢。两个风险孰高孰低我不清楚,但是这个局中局策略不是毫无道理的。


这就把我们带回了 James 的决定。James 和 Emma 都很擅长 Jeopardy,所以我们假设他们 Final Jeopardy 的答题正确率都是 90%,我们的四分格变成了这样一种概率:



如果这种假设是准确的话,James 采用传统策略的胜率只有 10%。



这个胜率实在太低了,所以 James 很有可能使出局中局中局。


James 的局中局中局的逻辑是这样的,因为 Emma 可能使出局中局。而如果 Emma 真的使出局中局策略,James 押一个大额押注后的胜率会大幅提升。



以下是四种情况的详解:



James 放弃传统策略,采用局中局中局,只是舍弃了他和 Emma 都答错情况下的胜率,这种情况本身只有 1% 的可能出现。而他获得的东西是很多的,采用大额押注的局中局中局策略,如果 Emma 采用局中局策略,他的胜率就能达到90%。


虽然 Emma 依然更可能采用传统策略,但是这种可能性有多大?要记得,局中局除了本身自带的优势外,Emma 本人对于问题线索的主题类别的信心也会影响她的策略选择。


James 的传统策略要成为最优策略,Emma 采用局中局的可能性要低到可以忽略才行。(此处还可以留意一下,第三名的 Jay 没有进入我们讨论的范围,因为 Jay 能够最后翻身的可能性只存在于 Emma 和 James 都答错,唯独 Jay 答对问题的情况下,这种可能性是本身就很小的蓝色方格中的很小一部分。)


所以,考虑到以上种种情况,我觉得 James 做出了错误的决定。


当然,如果 Emma 真的把上面这些都想通了,她可能会意识到 James 的局中局中局对她的威胁,也就有可能采用局中局中局中局,把 James 大额押注的局中局中局扼杀掉。Emma 最后的大额押注意味着,她要么是采用了传统策略,要么是采用了局中局中局中局。


但不管她是怎么想的,James 正确的预测了她的押注,并且做出了这种预测下最好的押注,但这不意味着 James 的押注能赢。


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