宇宙是什么形状的?
2020-05-21 18:51

宇宙是什么形状的?

本文来自微信公众号:原理(ID:principia1687),作者:Joyce,头图来自unsplash


我们视线所及之处的空间似乎在朝着四面八方无限延伸,这不禁让人遐想:宇宙究竟是什么形状的?


目前,对宇宙的形状有三种主要的假设:


  1. 宇宙是平坦的,像纸张一样;


  2. 宇宙的曲率为正,像球体一样;


  3. 宇宙的曲率为负,像马鞍一样。


因此要探讨宇宙的形状,我们必须了解这三种不同的空间几何。


一、平面几何学 



关于平面几何学的故事,我们需要追溯到很久很久以前,当欧几里得首次将我们生活的世界的几何原理公式化的时候。他在著作《几何原本》中提出了5个几何公设:


  1. 任意两点可以通过一直线连接;


  2. 任意线段都能延伸成一直线;


  3. 任意线段可以一个端点为圆心该线段为半径作圆;


  4. 所有直角都全等;


  5. 若一条直线与两条直线相交,使同侧的两角之和小于两个直角,那么这两条直线无限延伸必定相交。


19世纪,勒让德证明了第5公设等价于“三角形内角之和等于两个直角。”这一公设下的几何也被称为“欧几里得几何”或“平面几何”。在这种几何中,两条平行的直线永远不会相交,三角形的内角和总是180度。与这种几何相对应的是曲率为0的平坦宇宙。



与前4条公设相比,第5条公设更加复杂。欧几里得自己也隐约觉得,第5公设好像不似其他几条那般完美。直到19世纪,数学家才终于找到了一个让第5公设不成立的几何学例子,证明了这个在2000多年的时间里一直被视为正确的公设,的确不完美。


这一发现也直接导致了非欧几里得几何的诞生。而这一发现也惊喜地促成了广义相对论的诞生,彻底地颠覆了我们的宇宙观。在非欧几里得几何空间中,无论宇宙是正向弯曲还是负向弯曲,事物都开始变得奇怪起来。


二、球面几何学 



当宇宙的曲率为正时,两条平行的曲线会向一个单点倾斜,与之对应的是球面几何,在这种几何中,欧几里得的第5公设失效了。


在这种几何中,平面几何中的“直线”变成了一个大圆,也就是由过球心的平面与球面的交线构成的圆。球面上的三角形内角和也不再等于180度,而是稍大于180度。



或许对于球面上的那些非常小的三角形来说,我们很难察觉到这一点。这是因为以一个非常小的三角形的视角来看,球面几乎是平坦的。这也是为何对于生活在地球这样一个球面上的我们来说,却用了如此长的时间才从平面几何思维转换到球面几何。很显然,当讨论的球面上的大三角形时,就能明显察觉其内角大于180度。


三、双曲几何学 



当宇宙的曲率为负时,意味着两条平行的直线会永远发散,与之对应的是双曲线几何。在双曲线几何中,欧几里得的第5公设以和球面几何类似却又恰好反向的理由失效了,不过前4个公设在双曲几何中仍然成立。


与球面几何相比,双曲线几何更难以被可视化。不同于球面几何的向内闭合,双曲几何是向外张开的。一种可被用来展示双曲几何的方法叫做庞加莱半平面模型(Poincaré half-plane model)。这个模型与“真实”的双曲空间之间的关系,有点类似于平面地图与球面世界之间的关系。举个例子,驾驶一架飞机从北京直飞伦敦,那么在平面地图上画出的路线不会是直的,而是弯曲的。



在欧几里得几何中,圆的周长与半径成正比;但在双曲几何中,圆周长与半径成指数关系。如果放大双曲圆盘的边界,就会看到在那里堆积着大量的三角形。在双曲几何中,三角形的内角是小于180度的。以庞加莱圆盘中的三角形为例,其内角和为165度。


四、宇宙的形状 


了解不同几何的性质,对于思考宇宙的大尺度形状至关重要。要了解宇宙的形状,研究人员需要测量宇宙中物质的密度。因为根据爱因斯坦的广义相对论,空间本身是可以被质量弯曲的。因此,通过比较宇宙的临界密度与实际密度,计算出宇宙的空间曲率,从而推断宇宙是“开放的”、“闭合的”,还是“平坦的”。


如果宇宙的实际密度大于临界密度,它就包含足够多的质量来最终阻止膨胀,那么这就是一个闭合的宇宙,有一个球形的形状。如果宇宙的实际密度小于临界密度,就意味着宇宙中没有足够的物质来阻止宇宙的膨胀,宇宙会永远膨胀下去,这就是所谓的开放宇宙,其形状会像马鞍的表面一样弯曲。但如果宇宙恰好包含了足够的质量使膨胀停止,它的实际密度将等于临界密度,这种情况下,宇宙被认为是平坦的。


这些问题的答案都“刻写”在天空中,隐藏在从四面八方朝我们袭来的宇宙微波背景(CMB)辐射里。根据目前的CMB证据表明,平面几何最有可能是正确的:研究人员测得,宇宙的曲率为0,这意味着可观测宇宙基本上是平滑且均匀的,即空间的局部结构在每个点和每个方向上看起来都一样。


尽管如,在更大的尺度上,宇宙仍有可能是弯曲的,只是这超出了我们的感知范围。就像站在大平上的我们可能会觉得地球是平的。而目前我们所知道的,只是可观测的宇宙几乎是平坦的。


研究宇宙的形状其实是在为研究宇宙的起源提供线索,它同时也是我们推测宇宙的最终命运的关键信息。它与宇宙中物质的形状和密度,以及暗能量的强度息息相关,而这一切都将最终决定宇宙是会在大挤压中收缩回去,还是在热寂中四散死亡。


参考来源:

https://www.quantamagazine.org/what-shape-is-the-universe-closed-or-flat-20191104/ 

https://www.nature.com/articles/425566a 

https://mp.weixin.qq.com/s/TAw4UmCt1lb1CdKiLl1jwg

https://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-strange-geometries 

https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/ 


本文来自微信公众号:原理(ID:principia1687),作者:Joyce

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