本文来自公众号：果壳（ID：Guokr42），作者：铸雪，题图来自：视觉中国
不久之前, 随着一段关于“后浪”的视频在B站爆红，人们对于“后浪”象征意义和文化内涵的讨论也愈加热烈。
然而，除却上述种种关于“后浪”深层内涵和意义的探讨，对于“后浪”，尤其是“浪”本身含义的讨论却鲜见诸公众视野。鉴于这种理论研究的缺失，本文旨在利用简单的非线性动力学理论，解释“后浪”这一现象背后的数学本质，进而分析作为一个合格的“后浪”所应该具有的特质。
什么是“后浪”？
所谓“后浪”，顾名思义，即后面的波浪。
根据《现代汉语规范词典》的解释，“波浪”乃是江河湖海等收到外力作用呈现出的起伏不平的水面。根据起伏的剧烈程度不同，我们定义微小的“浪”为“波”，巨大的“波”（咦？好像混进了什么奇怪的东西？）为“浪”。
人类对于波浪的观察自古有之，但在自然科学中，其概念要更为宽泛：水波、声波、电磁波、风浪、涌浪、近岸浪⋯⋯不一而足。进入十八世纪，达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利、拉格朗日等人对波动方程的系统研究，更是为后人深入认识“波浪”这一物理现象奠定了坚实的数学基础。
达朗贝尔（左上）、欧拉（右上）、丹尼尔·伯努利（左下）、拉格朗日（右下） | Wikipedia
让·勒朗·达朗贝尔，法国物理学家、数学家和天文学家。24 岁成为法国科学院天文学助理院士；
莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，被认为是有史以来最伟大的数学家之一，13 岁考入巴塞尔大学；
丹尼尔·伯努利，约翰·伯努利之子，流体力学和概率与数理统计先驱，21 岁获得博士学位；
约瑟夫·拉格朗日，法籍意大利裔数学家和天文学家，被腓特烈大帝称做“欧洲最伟大的数学家”，19 岁的论文为变分法奠定了理论基础。
——一言以蔽之，都是后浪
早期的数学家主要利用波动方程来描述“波”[1]：
一维波动方程：
二维波动方程：
三维波动方程：
其中u代表弦（一维）/水面（二维）/空间（三维）中的一个点在t时刻的位置，f可以简单地理解为这一点所收到的外力。
对于波动方程，只要给出边界条件和初始条件，就可以得出方程的解。
换言之，我们就知道了波上任意一点在任意一个确定的时刻的准确位置。
上图：一维波动方程（如琴弦）的一个解
下图：二维波动方程（如水面）的一个解
（对于波动方程，可以通过Mathematica之类的软件轻松实现可视化。不过既然某基百科上有现成的图，笔者就直接拿来主义了。）
图片来源 | Wikipedia
相较上面我们介绍的“波”，“浪”的原理相对来说更为复杂。以海浪为例，风、天体引力、地震、火山爆发、大气压、海水密度分布等因素都会对其造成影响。
当然，本质上来说，浪可以视作是由无限多个振幅不同、频率各异、方向不定、相位杂乱的波组成的，所以上述波的理论整体上而言仍然适用。
从上面的例子我们不难看出，无论是“波”还是“浪”，似乎都不是稳定的存在。
振幅较小的波会随着传播距离的增加而逐渐形变弥散，最后消失不见。而振幅较大的浪则会在前进的过程中愈发前倾，甚至会在某一时刻形状坍缩，形成浪花。
看起来，“前浪”被拍死在沙滩上，主要还是它自己不稳定，怪不得“后浪”……不过，要是“后浪”也这么不稳定，岂不是很快就会沦为又一波“前浪”了吗？
凡事并没有这么绝对，譬如今天我们要讲的这个故事。
一个合格的“后浪”：KdV方程的孤波解
让我们把故事线跳转到1834年的夏天。
话说，在英国爱丁堡格拉斯哥的运河旁，苏格兰工程师罗素（John Scott Russell）正骑马漫步。突然间，运河中一个奇怪的波浪引起了他的注意[2]。
根据他事后的描述[3, 4]，运河上的船“突然停下来……大量河水并不停止，它们汇集在船头附近……形成一个圆而光滑、轮廓分明、巨大的孤立的高水头，沿着运河继续前进，没有明显的形状改变和速度减小。”
约翰·罗素（左）vs伯特兰·罗素（右） | Wikipedia
约翰·罗素是苏格兰海军工程师，也就是上面奇怪波浪的发现者，同时还是1851年世博会的发起人。
然而大家一般提起“罗素”，往往指的是《西方哲学史》的作者，提出了“罗素悖论”的伯特兰·罗素。然而他与今天的故事——毫无关系⋯⋯
（这里放上伯特兰·罗素的照片纯粹就是为了防止有的同学认错人。）
考虑到奇怪波浪的形状和移动速度都保持不变，罗素首先用“solitary”来形容这一类波，即孤波（solitary wave）。
为了弄清楚孤波的形成原因，罗素建造了一个一端带有重锥的水槽，用重锤落入水槽的一端来产生孤波。
罗素实验示意图重锤落水后，产生的孤波以恒定的速度v向右移动并保持形状不变。
在实验中，罗素还发现水槽的静水水深H与孤波的振幅h有如下关系：
其中k是比例常数。这说明振幅较高的孤波移动速度也更快。此外，实验证明孤波中水的体积相当于重锤排开的水的体积，所以振幅高的波也相对较窄。
不过可惜的是，罗素并没有尝试从流体力学的角度分析这个问题，也没有给出孤波的数学解释[3, 4]，所以在接近半个世纪的时间里，他的研究始终没有受到重视。
直到1895年，荷兰数学家科特韦格（Diederik Korteweg）和德弗里斯（Gustav de Vries）提出了KdV方程，才从数学上肯定了罗素当年的发现。
布辛尼斯克（左）、科特韦格（中）、德弗里斯（右）| Wikipedia
布辛涅斯克，法国数学家。布辛尼斯克在其1877年的著作[5] 中已经得出相关的结论。不过直到1895年科特韦格与他的学生德弗里斯发表了他们关于浅水中小振幅长波运动的方程之后[6]，相关研究才逐渐在学术界得到重视，所以最终也以两人的名字将方程命名为KdV方程。
KdV方程最初写作：
通过变量替换进行简化处理（即无量纲化）后得到：
关于KdV方程的推导，过程稍显冗长，感兴趣的读者可以参考[2,7]。（事实上笔者确信已找到了一种绝妙的推导方法，可惜这里空白的地方太小，写不下……）
这里的无量纲化，指的是通过合适的变量替换，将方程中涉及物理量的部分的单位移除，总之是一种简化运算的手段。
求解KdV方程的思路有很多，经典的包括行波法、Lax对法、双线性算法、反散射方法等等，这些思路也是现代可积系统研究的主要方向。这里简要介绍行波解的求法：
不失一般性，我们讨论无量纲化的KdV方程：
假设方程存在以下形式的解：
将其带入KdV方程，稍作处理就可以得到：
其中符号的含义与上文相同，c为波速，x0为任意常数。
这样我们就得到了一个合格的“后浪”：局域分布（只存在于空间中的一个小区域），且形状不随时间演化。
之后我们还会看到，孤波间作用后还具有弹性碰撞的性质（即碰撞后，形状能够恢复，且没有动能损失）。
KdV方程的孤波解 | 作者绘制
孤波形成的数学原理：挤压与色散
现在，我们回过头来思考孤波形成的数学原理。
前面提到，一般而言，波浪在运动过程中往往会呈现两种状态：要么逐渐衰弱消失（色散），要么向前聚集。
前者出现的原因主要在于这种波浪可以被视为由多个速度（频率）不同的波叠加而成。随着波的传播，其分量彼此远离，也就是所谓的色散现象。
初始时刻，蓝色波的振幅相当于红、绿、紫波效果的叠加（左图）一段时间后，由于红、绿、紫波波速不同，色散现象出现（右图）
“色散”一词通常用在可见光的情境中，但可以推广至任何波动。当不同波长的平面波传播速度有差异时，色散现象便会发生。
另一方面，对于后一类波浪而言，由于波上不同的点速度不同，波在向前传播的过程中受到挤压效应，便会发生变形。
初始时刻，波浪为经典的钟形，但不同位置波速不同（左图）一段时间后，由于顶端速度更快，所以波浪的形状会向前倾（右图）
而今天我们讨论的孤波，恰好同时具有了上述两种特性。事实上，孤波解只存在于非线性色散方程之中。方程的非线性会导致波阵面卷缩，也就是刚刚提到的挤压效应，而色散意味着波浪的传播速度依赖于波的频率和波长，这导致波浪在传播过程中散开。两者共同作用，效果相互抵消，就形成本文介绍的稳定的孤波。
后浪的自我修养：稳定性和粒子性
与其他的波浪相比，合格后浪（孤波）最大的特点就在于其稳定性和粒子性。接下来的数值实验就可以很好地体现这两个特点。
如果都是孤波，那么后浪追赶前浪，可以不必拍死前浪 | 作者绘制
在上面的数值实验中，振幅较大的浪（后浪）追赶振幅较小的（前浪），并发生碰撞。但碰撞之后，二者恢复原本的形状，且遵守动量守恒和能量守恒（即发生了弹性碰撞），这也就使得孤波具有了稳定性和粒子性。因此不少学者也将孤波成为“孤子”或“孤立子”。
值得一提的是，在早期的文献中，孤子往往指的是那些包含不止一个孤波的解（譬如上面的数值实验就包含了两个孤波，也就是传统意义上的孤子），而只有一个波的解则被称为孤波。但现在的很多文献中把能发生强烈相互作用，但相互作用后除相位外其他特征（如形状、速度等）均保持不变的波皆称为孤波或孤子，并不加以明确区分。
钟型孤子
暗孤子
扭型孤子
呼吸子
几种典型的孤子 | Wikipedia
很多经典的方程都具有孤子解，如KdV方程、非线性薛定谔方程、耦合非线性薛定谔方程、正弦-戈尔登方程、双曲正弦-戈尔登方程等。孤子的类型也多种多样，包括钟型孤子、暗孤子、扭型孤子、反扭型孤子，呼吸子等。
讲了这么多，最后总结一下孤子/孤波的特性[8]：
具有稳定的形态;
局域分布;
与其他孤子作用后特征不变或只有相位发生改变。
由此看来，作为要成为众人瞩目的后浪，保持“稳定”、坚持自己的特色才是根本。这也不禁让人想起了后浪辈出的英国皇家学会和它的格言——
Nullius in verba.
不随他人之言。
这就是所谓的强行升华主题吧……
参考文献
[1] 谷超豪. 数学物理方程. 高等教育出版社, 2002.
[2] 倪皖荪，魏荣爵. 水槽中的孤波. 上海科技教育出版社, 1997.
[3] J.S. Russell. Report of the committee on waves. In Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, 1838.
[4] J.S. Russell. Report on waves. In Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Science, 1844.
[5] Joseph Boussinesq. Essai sur la théorie des eaux courantes. Impr. nationale, 1877.
[6] Olivier Darrigol. Worlds of flow: A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl. Oxford University Press, 2005.
[7] 陈登远. 孤子与可积系统. 科学出版社发行部, 2008.
[8] Robert Savit. Solitons: An introduction (book). Physics Today, 1990.
本文来自公众号：果壳（ID：Guokr42），作者：铸雪