北大教授“手把手”,教你如何学好数学
2020-10-28 09:17

北大教授“手把手”,教你如何学好数学

“因为数学它是有一定思想的,也就是说,当你把经典内容学清楚之后,再读一些文献,是有可能达到触类旁通的效果的。”本文来自微信公众号:格致论道讲坛(ID:SELFtalks),作者:关启安(北京大学数学科学学院教授),原文标题:《学习高等数学,应该先学理论和还是先读文献? | 关启安》,题图来自:视觉中国




这个题目是从强开性猜想说起,汇报包括三部分。


强开性猜想的解决


首先,数学一般是这样的,讲这个猜想,先要讲它是关于什么的一个猜想。


它的研究对象被称为乘子理想层,它是n维复流形上的乘子理想层。


这个乘子理想层的定义是复流形上的全纯函数芽层的一个子层,满足加权的L2可积性条件,这是局部可积的一个条件。


这个权,是复流形上的一个多次调和函数。


乘子理想层这个研究对象,是复几何和复代数几何中重要的研究对象,在现代高维代数几何的研究中,起一个中心作用


它的研究困难就是,一般的多次调和函数,就是权的奇点很复杂,可以取负无穷



下面就要介绍一下:在乘子理想层的研究与应用中,做出重要贡献的专家包括田刚院士、萧荫堂院士、Demailly院士、Kollár院士等。


这里边就要介绍一下强开性猜想的内容。


首先要介绍一下提出的过程


这是Demailly院士在2000年左右提出的,他研究了具有强开性质的乘子理想层并得到重要的成果。


由此提出这样一个猜想,就是任意的乘子理想层都具有强开性质。


Demailly教授在他的2012年出版的专著中,称这个猜想可能非常难以建立,就是 probably quite hard to estabish。


这个强开性猜想还有一个重要的特殊情形,我们称为开性猜想,就是平凡的乘子理想层具有强开性质。



这里需要解释一下什么是“开”。


这个“开”,可能需要大家学过一点高等数学的内容,高等数学我们都学过。


一说高等数学,我心情就比较舒畅,因为我讲过高等数学。


高等数学里边有一个非常重要的概念,就是黎曼可积


但是我们知道,黎曼可积的一个必要条件是有界。


所以说,对于无界的,我们又再定义一个叫做广义的黎曼可积的概念。



这里边有三个函数,三个广义的黎曼积分。


第一第二个我们知道 ,这个广义积分是可积的话,那么它就当且仅当P是小于1的


而第三个积分可积的话,当且仅当P是小于等于1的。


也就是说,它在等于1的地方也是可积的


这样的话,我们知道例1和例2,这个可积的P的取值范围,是一个开区间,这就是我们所谓的开的含义。


例3是个闭区间,那它也就不具备这个开的性质。


所以我们就说,强开性质实际上对应的就是例1和例2的情况,就是说P取值是一个开区间


再解释一下,如果一个P是可积的,那么这个P还可以再大一点,这是区间的定义。


接下来我们就要讲一下强开性猜想的解决,回顾一下它的研究历程。


二维的开性猜想是被Favre-Jonsson解决的,他们解决的这个猜想是通过代数几何的赋值树理论,他们发展了一套叫做赋值树的理论。



他们的论文发表在这个顶尖的数学期刊了,这是 JAMS(数学领域最顶级的期刊之一)


二维的强开性猜想也是沿着这个路子来的,也是要用到这个所谓的赋值树代数理论,这是Jonsson-Mustata解决。


而开性猜想是被Berndtsson解决的,他用的是凸几何当中发展而来的叫做complex Brunn-Minkowski Inequality不等式的这套方法。


强开性猜想是被我和我的老师周向宇院士合作解决的。


我们的定理是这个猜想成立,就是任意乘子理想层具有强开性质。


当然我们的论文是2015年发表的,实际上2013年做出来的。


这个猜想难在哪儿?


难在我们不同于之前的方法,我们是对于维数进行了归纳


可能同学们会觉得很奇怪,前面的人为什么没有想到对于维数进行归纳呢?


这里我们需要解释一下,为什么我没有列一维的开性猜想被谁解决。


因为一维的对于专家来说,是一个熟知的经典结论,它有非常多的方法来证明,因为一维的乘子理想层是有分类的,它有结构定理


而二维的情况就非常复杂,我们看到他们发表的期刊,也几乎是数学当中最难发的期刊之一了,这是JAMS 和 Inventiones。


而二维之后,它们的代数框架就发展到三维,就很难去进行,而Berndtsson的方法也没有用到对于维数的归纳法。


这里我们可以回顾一下,我们在中学学归纳法的时候,一般第一个例子就是1+到N这样一个求和公式,用归纳法来进行证明。


那么N等于1的时候,这个就不用证了,N等于2的时候,1+2等于3,你也是很容易证明这件事的。


三维的时候也还可以,1+2+3等于6,这个也可以。


而这个时候你非常机智地想,如果N等于K成立,那么K+1怎么证。


这是一个证明过程,对于这个猜想来说,我们可以看到,一维是熟知的,二维就非常困难,所以说想用归纳法,这件事情就很困难。


而我跟我的老师经过多次讨论,我们发现了一种在一维情况下的一个全新的证明强开性猜想的办法,而这个方法恰好可以进行对于维数的归纳,这样我们就完全解决了这个猜想。


这个猜想有很多评价,我取了其中一个,就是《美国数学评论》的一个评价。


评价称,我跟我的老师合作解决的这个强开性猜想的工作,是近年来复分析与代数几何交叉领域最重大的成就之一。



他用的是the greast achievements,这是一个评价。


既然我们提到了复分析与代数几何交叉领域,我们就要说一下,复分析与代数几何交叉领域是多复变中最前沿、最核心的领域,是代数几何中最重要的研究领域之一。


主要研究人物包括Berndtsson院士、Demailly院士、Hacon院士、Kollár院士和萧荫堂院士等。



数学学习的建议


下面就是介绍一下第二部分了,这也是汇报一下我在研究生的时候学数学的体会,这里引用了我的老师在讨论班上经常教导我们的一些话。


首先是勤于思考,多动脑筋,当然这个是对于基础数学的研究生的学习。


然后是对于一个定理,不光要知道内容、会证明,还要思考条件是否必要,证明是否可以简化,结论是否可以改进,有没有相应的例子等。



需要说一下,这个可能是基础数学学习的一个特点。


我们在中学的时候,数学往往就是一个条件、一个结论,非常的干净利索。


但是往后我们会发现定理条件越来越多,就会出现一个问题 ,这个条件是否是有必要的。


当然一般来说,经典定理的条件都是有必要的,那我们考虑的问题就是,如果这个条件去掉的话,应该就会有反例。


这里也是讨论有没有相应的例子,就是考虑这方面的例子。


还有,你要学习它的证明,比较重要的方法,这个证明是否可以简化


如果你可以把这个证明进行简化,那说明你对这个定理的证明的理解,已经非常到位了。


最后就说结论是否可以改进,这件事情就与研究相关了。


如果你可以改进它的结论,那说明你的研究已经开始进步了。


讲高等数学的感悟


其实我的一个重要身份就是数学教师,因为我们的教学任务必须要有的,就是要给本科生教学。


我上课也是,我这学期的教学就是高数,高等数学,所以我正好也讲一讲,高等数学的感悟。


讲到高等数学的感悟,就要讲到我上第一堂课。



实际上我在到北大教学之前,我没有上过这种大课,但是上过小课。


我们新教师培训的时候,学校的领导非常用心地为我们准备了很多资深的教师,让他们给我们讲如何上第一堂课。


我记得当时好像是一个化学院的资深的教授给我们讲,我也非常认真地做了笔记,但是当我推开门进到阶梯教室,看着满屋子学生的时候,我什么也想不起来了,我就感觉我的嘴跟我的人已经分离了。


然后我就讲啊,讲完之后,过了几年,我问第一批学生,我第一堂课是不是对你们进行了非常大的人生启迪,或者对你们以后的工作有什么重要的影响。


他们说,这我可能也想不起来,但是我们都记得你当时很紧张,说我从小学到中学都没有见过这么紧张的老师。


但是现在第一堂课,我肯定是要介绍一下,实际上是课程介绍。


首先介绍我是谁,这个课怎么讲,怎么去评分,然后怎么交作业,基本上这个意思。



那么一般是这样讲的 ,首先,这个是我们的教材,高等数学。


这个教材里面包含的内容有一定的特点,它包含的内容非常多。


因为它包含微积分、常规方程、线性代数、解析几何等等。


这是其实在数学系里边,这是好几门课,但是它都浓缩在一本书当中。


这样学习起来会有这样一件事情。


一般我们开始讲的时候,先讲极限,为了方便同学们理解,我们都会跟高中的内容进行一些糅合,慢一点引入,让大家比较轻松愉快地去理解这件事情。


但是会给同学们一个印象,这个课很简单


但是我们有这么多内容,我们讲到后边,肯定就要开始加速了,加速的时候同学就会发懵,而这个懵的情况,很有可能会持续到期末。


就是他一旦清醒,发现快考试了,这又很麻烦。


所以说,同学们学这个课,一定要提前预习,还要尽量理解内容。


要加强理解,就要多做题,多读书,读好书。



然后我们会面临一个问题,两个选择,一个是仔细学习经典内容,还是说,大量地阅读相关的材料。


仔细学习经典内容是一个比较累的过程,因为你要做很多题目,然后要去,仔细地算很多东西,算很多例子。


而阅读相关文献,可能给人一种感觉,就是我的知识很广博。


但我的建议是,先仔细学习经典内容,有余力再阅读相关文献。



为什么呢?


因为数学它是有一定思想的,也就是说,当你把经典内容学清楚之后,再读一些文献,是有可能达到触类旁通的效果的。


当然有同学肯定会有这个疑问 ,如果我学习经典内容还很困难,那我怎么办。


这部分同学也不要灰心,因为我也经常有这种感觉,学习经典内容的时候,确实也是一直有困难的。


但是,我们只要努力学习就可以了。


本文来自微信公众号:格致论道讲坛(ID:SELFtalks),作者:关启安(北京大学数学科学学院教授)

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