本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：佐佑，头图来自：wikimedia
四面体是最简单的多面体，在漫长的岁月里，这种看似简单的三维形状延伸出了许多能引发那些伟大头脑为之苦思的问题。2020年11月，四名数学家在学术预印网站arXiv上提交了一篇长达30页的论文，他们用数论方法证明了一个与四面体有关的古老问题。
一
这个问题最早可追溯到2000多年前的柏拉图与亚里士多德，它旨在确定能够完美填充（或者说“密铺”）三维空间的多面体。柏拉图认为，世界是由水、气、火、土和以太这5种“物质”构成的，每种“物质”都与一种特定的多面体形状对应，这些有着相等边长的三维形状后来被成为柏拉图多面体。
柏拉图用正多面体来定义古老元素：立方体（土）、正二十面体（水）、正八面体（气）、正四面体（火）、正十二面体（以太）。| 图片来源：Wikipedia
但是，柏拉图的学生亚里士多德并不认同这种假设，他认为如果世界果真是由这些物质构成的，那么这些与之对应的形状必须能够完全填充空间才对。他认为，虽然与土和火对应的立方体和正四面体可以铺满空间，但与水和气对应的正二十面体和正八面体是无法做到这一点的。
当然，亚里士多德在这个问题上的判断也不完全正确。自15世纪起，就有科学家就开始质疑正四面体可填充空间的可能性。17世纪的科学家已经确认正四面体无法做到这一点。这其实很容易被证实，你只需将若干个正四面体模型边对边的摆放好，就会发现在五个正四面体之内，必然会出现一个无法填补的缺口。
事实上，大多数三维形状都无法密铺空间。那么，一个新的问题产生了：如果正四面体无法密铺空间，其他四面体能做到吗？
二
答案是肯定的。1923年，数学家Duncan Sommerville证明了第一个可以密铺空间的四面体。那么，这样的四面体有多少个呢？然而，寻找这样的四面体是非常困难的。但好在数学家发现，寻找可密铺三维空间的四面体问题，与另外两个问题有关。
第一个问题是大卫·希尔伯特（David Hilbert）在1900年提出的23个问题的第三问：对于任意两个等体积的多面体，是否总能将其中一个多面体切割成有限多个多面体，再重组成另一个多面体？
剪刀全等的二维示例：拥有相同面积的二维多边形是剪刀全等的。| 图片参考来源：QuantaMagazine
换种说法，这个问题可被表述为：是否任何一对具有相同体积的多面体，都是剪刀全等的？一个形状与另一个形状剪刀全等，指的就是其中一个可以通过直线切割，重组成另一个形状。
同年，马克斯·德恩（Max Dehn）为解答这个问题提出了一个关键概念，他证明了这个问题与多面体的角度和边长有关。他发现，从多面体的角度可以计算出一个现在被称为德恩不变量的量，当两个形状剪刀全等时，那么它们的德恩不变量必须相等。
三维形状的剪刀全等需要两个形状体积相同，且德恩不变量也相同。图中所示的是有着相同体积的正四面体和立方体，但它们不是剪刀全等的，因为它们具有不同的德恩不变量。| 图片参考来源：Wikipedia Commons
1980年，Hans Debrunner证明了任何可能密铺空间的四面体，其德恩不变量都必须与立方体一样——等于0。这意味着与立方体剪刀全等的四面体才有可能密铺空间。而数学家们继而发现，与立方体剪刀全等的那类四面体，其所有二面角的度数均为有理数。
到这里，另一个与之相关的问题也出现了。
1976年，约翰·康威（John H. Conway）和安东尼娅·琼斯（Antonia JJones）发表了一篇论文，在论文中他们提出了这样一个问题：是否有可能识别出所有其二面角的度数全部为有理数的四面体？
他们想到可以通过求解一个特定的多项式方程来寻找这种有理四面体。他们的方程中存在六个变量，对应于一个四面体的6个二面角；它有105项，反映的是这6个二面角之间的相互关系。这个多项式方程有无穷多个解，对应着无穷多个不同的四面体构型。
一个四面体具有6个二面角。| 图片来源：Wikipedia Commons
康威和琼斯认为，要通过求解方程找到所有二面角都为有理度数的解，必须找到方程的一类与有理四面体完全对应的特殊解。但他们并不知道应该如何做到这一点。
三
1995年，数学家Bjorn Poonen、Michael Rubinstein以及其他数学家通过计算机，搜索并发现了这些特殊的有理四面体。他们的结果表明，满足这些条件的四面体有59个，加上两个无穷族中的四面体。无穷族中的四面体都具有一个可以被无限调整的角度参数，使这些四面体不管经历了怎样的调整都能维持密铺空间的能力。
但是，Poonen等人无法证明已找到的这些四面体就是所有能够密铺空间的四面体。直到现在，4位数学家在一篇新论文中阐明的方法，证实了25年前所发现的就是所有的有理四面体，不存在尚未被发现的其他例子。
在新研究所提供的方法中，数学家首先证明了那个用来表示四面体的复杂多项式方程可以被表述成许多更简单的多项式。他们将一个复杂的6变量方程转变成为了数百个相对简单的方程，并对这些方程进行求解。接着，他们根据对方程解的一些性质的预判，在求解过程进行了更有针对性的设置，从而得到了一个能够快速高效地搜索方程解的算法。
最终，他们找到的正是那59个独立的四面体，以及两个无穷族的四面体。并且，这些具有有理二面角的四面体都有一个为零的德恩不变量，这意味着它们都与立方体剪刀全等，有可能密铺空间。
现在，麻省理工学院的一群本科生们在继续研究这个问题，他们试图找出其中的哪些能做到三维密铺。2021年1月，他们找到了一个反例，证明了其中一个独立的有理四面体不能密铺空间，这是数学家首次发现的一个与立方体剪刀全等，但又不能密铺空间的四面体例子。
#参考来源：
https://www.quantamagazine.org/mit-math-students-continue-aristotles-tetrahedra-tiling-20210209/
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-finally-prove-rational-tetrahedron-solutions-20210202/
http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/press_release.pdf
https://arxiv.org/pdf/2011.14232.pdf
本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：佐佑