弹性波可以有自旋吗？

自旋是物理学的核心概念之一，关于它的研究为我们打开了奇妙的量子世界。有趣的是，自旋角动量不仅存在于量子系统，也存在于经典的波动系统。长期以来，人们一直认为只有圆偏振的横波（如电磁波）才有自旋，因为对于弹性纵波（如流体中的声波）没有与传播方向垂直的偏振。事实果真如此吗？本文将介绍有关弹性波自旋的探索。

一

相信大家都玩过陀螺，并且了解陀螺的好玩之处：它转速越快，越难摔倒。而要倒下时，它并不会在重力的作用下直接倒下，而是歪斜着继续旋转。这是因为陀螺旋转的速度越大，它沿着旋转轴方向的角动量也就越大，想要改变陀螺旋转轴的方向也就越困难。陀螺的这些性质可以用一个定律来概括：角动量守恒。

如今，以陀螺命名的角速度传感器陀螺仪，已广泛应用于各种场景；无论是大众消费品——手机，还是人类探索的前沿——卫星，都依靠陀螺仪来感知姿态和方向。虽然它们与玩具陀螺的结构已经大相径庭，但是其核心功能依然是利用角动量守恒这一基本的物理规律来实现的。可以说，角动量相关的研究，是基础研究和科技发展不可或缺的一环。

在各类物理系统的研究中，波的角动量相关性质也备受关注。比如电磁波里，包括由电磁场偏振特征决定的“自旋”角动量和由相位的空间分布决定的“轨道”角动量。合理的刻画和操控电磁波的角动量，可以帮助人们提升通信信道和带宽。类似的，在空气声波的研究中，轨道角动量也可以被用来提升声波通信的信道和带宽，并被用于操控粒子的旋转。

相比电磁波，人们更关注声波的“轨道”角动量。因为空气是流体，而理想流体中没有剪切力，一般意义上这表明空气声波的速度场没有旋度。因此，空气声波没有类似于电磁波的，与传播方向垂直的偏振行为；由“声波无旋”得出的“声波没有自旋角动量”也一直是人们的共识。但是，没有旋度和没有自旋角动量真的可以画等号吗？

我们知道，声波描述的其实是介质的弹性振动。广义上，声波不仅包含空气等流体介质中的声波，还有固体声波。我们可以将其统称为弹性波。为了更系统地探究“空气声有没有自旋角动量”这个问题，我们不妨先看看弹性波的角动量是怎样的。

二

在开始探讨弹性波携带的角动量之前，我们还需要澄清两个问题：（一）我们讨论的“自旋”，是量子力学中的自旋吗？

对于宏观系统，研究波的自旋可以不用量子力学的知识。以电磁波为例，在量子光学中，电磁波的自旋角动量其实就是光子的自旋。但是从宏观视角研究电磁波，不进入量子效应的范畴，圆偏振的经典电磁场就可以拥有自旋角动量了。

（二）既然电磁波的量子化描述是光子，那么弹性波的量子化描述是什么？它有自旋吗？

弹性波的量子化描述是“声子”^[1]，弹性波和声子的自旋也可以通过场的量子化描述联系起来^[2]。虽然声子自旋早在1961年就有相关研究，但是先前的研究工作更关注“横波”声子（即剪切振动的圆偏振模式），并未回答旋度为零的“纵波”有没有自旋角动量。

此文以下的讨论还是以经典视角为主。

在经典力学中，一个质点对某一固定点O的角动量L的定义为：。

其中，r是从点O指向质点的位置矢量，p是质点的动量（即质点质量和质点速度的乘积），x代表矢量的叉积。如果将弹性介质视为一系列质点的集合，那么弹性波就是这些质点的振动（如图1所示）。这些质点在振动中相对于某一固定点O携带的角动量，就是弹性波携带的角动量了。

图1 弹性波可以视为一系列质点的振动。

值得注意的是，人们常讨论的承载弹性波的连续介质，其质量微元之间是有位置关系的要求的，和自由运动的质点不同。

图2 双星系统。

举例来说，两个自由的质点可以进行图2中的双星运动。但对于弹性波，介质中任意两个质量微元更像是一块布上的两个点。在保证布不被撕裂且不发生整体移动的前提下，这两个质量微元是不能像上面的双星系统一样跳二人转的。因此，比起离散的质点，弹性波更适合用连续的“场”来描述。

在没有弹性波传播时，我们设质量微元相对于坐标系原点的位置矢量为r；有弹性波时，质量微元的位置为u(t)+r，其中u即表示质量元偏离平衡位置的矢量，是与时间相关的函数。这样我们就得到了一个能够表征弹性波的，且与时间相关的矢量场：u(r， t)，表示每一个平衡位置r上得到了一个位移矢量u。平衡位置r与时间无关，“布”就不会发生整体的移动；且我们要求这个矢量场的导数存在且连续，也就保证了“布”永远是光滑的，不会被撕裂。因此，我们不妨把质点图换成矢量场u(t)+r的图，箭头的起点位于r，箭头的方向表示u的方向，箭头的大小表示|u|。以图3中的固体声表面波——瑞利波为例，质点集合的振动可以用一个随时间变化的矢量场描述。

图3 固体中的瑞利波；左图为质点图像，右图为位移场图像。

那么，我们应该如何讨论这个场的角动量呢？

不妨让我们听从牛爵爷的建议，站在巨人的肩膀上。有请数学和物理学界的巨人，埃米·诺特（Emmy Noether）。（编者注：参见《令数学众神钦佩的数学家，她提出的定理成为20世纪物理学的基石》。）

埃米·诺特（Emmy Noether，1882-1935）

她告诉我们，任何物理系统作用量的微分对称性都有一个对应的守恒律。简单来说，就是我们把一个物理系统的坐标系平移一下，旋转一下，甚至扭曲一下，而让它的作用量保持原样，那就可以找出对应的守恒量。例如，时间平移对称性对应能量守恒，空间平移对称性对应动量守恒，空间旋转对称性对应角动量守恒。对于弹性波来说，我们只需要写出它的拉格朗日量，再给其变个分，转一下，就能得到弹性波角动量的形式了。

至于如何在旋转操作中分出轨道和自旋，我们可以从“算符”和旋转矩阵的语言出发（注意这并不意味着我们需要考虑量子效应才能描述弹性波自旋），给出一种教科书里常用的“懒人”理解方式。对矢量场做无穷小旋转时，可以把旋转理解为两个部分：对坐标系旋转，在图4中用蓝线标出；对矢量本身旋转，在图4用红线标出。前者可以得出“轨道”部分，后者可以得到“自旋”部分。我们可以从中看到“轨道”和“自旋”的差别：前者与空间上的整体分布有关，而后者只和某个场点本身的局域性质有关。需要说明的是，图4中表示角动量的和是“算符”，实际的角动量大小需要由和得到。

图4 旋转一个矢量场时，旋转操作可以理解为“对坐标系旋转”和“对矢量本身旋转”两个部分。

从弹性介质的拉格朗日量出发，利用诺特定理进行变分的推导，和上面的“懒人”理解是相通的^[2]，这里就不再赘述推导过程了。下面用经典力学的表达方式给出结果：

其中L为轨道角动量密度（Orbital Angular Momentum density， OAM density），S为自旋角动量密度（Spin Angular Momentum density，SAM density）； ρ 为材料的质量密度，表示位移u对时间的导数，即振动速度；，是通过空间平移对称性得出的弹性波系统的线动量密度。

对于不太熟悉场的朋友来说，比较直观的理解方式还是从粒子的角度来看问题。而场的质量微元就可以看作是一种“微粒”。所以我们可以这么“简单”理解：是质量微元的整体移动相对于坐标原点的转动所带来的角动量；而S中具有跟 一样的动量密度的量纲，的物理意义就是某一个位置的质量微元对其自身平衡位置的角动量密度，是质量微元的位移极化的局域转动所带来的角动量。

L与位置矢量r有关，也就是与坐标系原点的选取有关，所谓“轨道”；而S只和位移矢量u有关，与坐标原点选取是无关的，是某一场点的内禀的角动量，即谓“自旋”。至此，场的自旋角动量S的物理意义也就很清晰了。如果u用简谐振动的波的形式来表示，就正比于u* （表示u的复共轭），自旋角动量密度S可以进一步简化成^[2]：。其中Im[ ]表示取方括号内的虚部。简谐振动的情况下，位移场u也正比于速度场的复共轭，用速度场的形式写出S也是可以的。

对于轨道角动量和自旋角动量的区别，用表达式中是否有r来解释终归不太直观。为了更清楚地指出这二者之间的差别，我们可以构思一个极细的弹性圆环，并且假设圆环振动只有轨道角动量密度/自旋角动量密度，看看对应的振动模式是怎样的。如图5所示，黑色的圆环表示圆环的平衡位置，以这个圆圈为起点绘制一系列表示u的黑色箭头。

图5 只有轨道角动量密度（OAM）时位移场（黑色箭头）随时间的变化。可以看出每一个位置的位移场都不改变方向，但是振动模式整体是在旋转的。

此时，整个圆环的振动状态在“转圈”，但每一个黑色箭头都没有改变方向，只是在改变大小。这意味着质量微元的运动总是“直来直去”的，单独观察圆环上某一个固定位置的振动就可以发现，质量微元自己并没有在转圈，即自旋角动量密度为零（每一个质量微元自己并没有圆极化的振动），但是轨道角动量密度不为零——质量微元的振动状态（或能流）在沿着逆时针方向传播。那么，如果圆环上的振动模式并不沿着圆环传播，是不是就没有轨道角动量了？是的，就像图6所示的圆环，它整体的轨道角动量就是零。

图6 只有自旋角动量密度（SAM）时位移场随时间的变化。可以看出，振动模式整体上并未旋转，但是每一个固定位置的位移场在旋转。

显然，此时圆环的振动状态并没有沿着圆环顺时针或者逆时针传播，但是表示质量微元位移的黑色矢量是在旋转的，也就是这些质量微元是携带了角动量的。所以，这个圆环的轨道角动量密度为零，但是自旋角动量密度非零。

值得注意的是，从以上的分析中我们也能看出，场（波）的自旋即是该场极化矢量（比如位移，速度）随时间的旋转，与该场矢量的空间涡旋没有任何关系。因此，哪怕在只能传播纯纵波的流体中（其位移场旋度为零），比如空气声波，也是可以携带自旋角动量的^[3][4]。至此，我们终于可以说，“声波无旋”是得不出“声波没有自旋角动量”的。

三    

通过前文的讨论，我们已经大概了解了弹性波的自旋角动量是什么，也回答了无旋场可以有自旋角动量的问题，下一步就该思考弹性波的自旋有什么有趣的特性了。

先和其他波对比一下，看看弹性波有什么不同。电磁波是一种横波，在空间中没有自由电荷的情况下，电场的散度为零，用公式来讲就是：。

而对于纵波来讲，比如空气声波，由于理想流体无法传播剪切力，描述质点振速的速度场是旋度为零的，即=0。

但是弹性波与它们都不同，弹性波同时存在无旋场和无散场，其位移场可表示为，其中

，=0。

在计算时，弹性波的自旋可以写成下面这样：

上式标红的部分，便是纯横波和纯纵波中都不会出现的横-纵交叉项。我们可以将其称为弹性波自旋角动量中的“杂化”贡献。“杂化”自旋的存在会导致弹性波自旋包含更丰富的结构。比如，在表面波系统中，弹性波的自旋分布就显得“特立独行”^[5]。

图7 a-d分别对应着表面水波、表面电磁波、表面空气声波和瑞利波。颜色图的蓝色表示自旋角动量密度方向垂直纸面向内（负），红色代表方向垂直纸面向外（正）；黑色箭头代表矢量场的大小和方向，其对应的椭圆极化方向在右侧画出。显然，最右侧的弹性波表面波与前三个系统在自旋分布上有显著差异。

图7中展现的几种表面波，它们的矢量场在数学上是极其相似的^[5]，振幅都会随着深度的增加指数衰减。前三者虽然场的旋度、散度（作为空间域上的几何性质）不尽相同，但是其自旋密度（作为时间域上的旋转性质）是类似的，都是垂直纸面向内并且大小随着深度的增加逐渐减小。弹性表面波（即瑞利波）却与众不同，不仅在弹性介质表面的自旋方向是垂直纸面向外，并且随着深度的增加自旋方向还会翻转。这其实就是由于“杂化”自旋的存在，导致弹性波与其他系统不同。

如今，弹性波的经典理论已经广泛应用于各个领域。从地震研究、地质勘探、无损探伤、声表面波滤波器等工程应用，到以弹性超材料、光-弹、磁-弹耦合体系为平台的前沿探索，都需要弹性波的调控。结合成熟的弹性波相关理论，从“弹性自旋”这一新视角出发，可以给实际应用提供一些新思路。由“杂化”带来的特性也能够启发一些弹性波特有的调控手段。

例如，在超声检测中，导波模式的激励和识别很关键。不同的导波模式对缺陷的响应特征不同，选择性激励纯净的导波模式十分重要。这里我们以一类基础的弹性波导波——兰姆波为例，比较一下兰姆波和其他系统中类似的导波，看看他们的自旋分布有什么区别。

在二维平面的波导中，根据波导上下两个边界上振动模式的对称性，导波可分为两种：对称模式（symmetric mode）和反对称模式（anti symmetric mode）。

图8 电磁波的对称模式和反对称模式。黑色箭头表示电场。此处对称和反对称模式上下表面自旋密度的方向相同。

图9 空气声波的对称模式和反对称模式。黑色箭头表示速度场。此处对称和反对称模式上下表面自旋密度的方向相同。

图10 弹性板波（兰姆波）的对称模式和反对称模式。黑色箭头表示位移场。可以看出，与电磁波和空气声波的导波模式不同，兰姆波的对称和反对称模式上下表面自旋密度的方向相反。

从图8~10中我们可以看到，只有弹性波的对称/反对称模式（S/A模式）呈现出了相反的自旋角动量分布。通过计算（图11）可以看出，这种S模式和A模式之间的差别正是由“杂化”部分的贡献决定的。

图11 弹性板波（兰姆波）的A0模式和S0模式中，杂化贡献(Sh)相反，导致总自旋相反。

一般来说，想要控制波在两个边界上的对称性，需要在每个边界上都安装一个激励源，即至少两个不同位置的激励源。但是兰姆波的A0和S0模式弹性自旋的分布是相反的。这意味着我们只需要在一个边界上安装一个圆极化偏振的源（手性源），就可以控制该边界附近的弹性自旋方向，进而分别激励对称、反对称模式。

图12 在单一边界上利用自旋源反向激励A/S模式。一组相互垂直的压电片可以控制其附近的偏振模式，激励特性的弹性自旋信号。

图12中给出了手性源的一种实现方式：用一组相互垂直的压电片，分别控制两个垂直方向的振动相位差，这样就可以自由控制手性源激励的振动的自旋方向了。如果按照图12中，在薄板下边界自旋源激励自旋为正的模式，那么我们在源的左侧（x < 0）就可以观测到A0模式，在源的右侧（x > 0）观测到S0模式。

实验测量中，可以通过扫场并对数据进行二维傅里叶变换得到频域信号。通过对比测量结果和理论上A0/S0的色散，就可以区分出测量到的是哪一个模式了（图13）。

图13：实验测量结果，信号由S>0的手性源激励。在源左侧(x<0)，弹性波的信号在A0模式的色散曲线上，表明该信号为A0模式；源右侧(x>0)的信号为S0模式。这表明实验测量结果与图12中的预期相符。

四

总的来说，从经典波的视角出发，弹性波是可以携带自旋角动量的。我们可以通过位移场，利用诺特定理来严格定义弹性波的自旋角动量的形式。特别地，自旋角动量的存在并不依赖于位移场是否有旋度，且弹性波位移场同时包含旋度/散度为零的成分使其拥有更为丰富的自旋角动量结构。“自旋”这个新的视角可以与弹性波经典、成熟的理论相结合，为弹性波的研究提供新思路。

此外，上文中的讨论中并未过多涉及弹性波的量子化版本——“声子”。声子作为弹性波场的元激发，通过量子化过程，被视为一种与晶格振动相对应的准粒子。在倒空间中，声子的内在特性与实空间中弹性波的整体特性紧密相关，类似于电磁波-光子之间的关系。因此，声子自旋与弹性波自旋一体两面，联系紧密^[2]。考虑到角动量守恒这一基本规律，弹性波自旋和声子自旋还可以与光子自旋、电子自旋等相互转化。在涉及到电-声耦合、光-机械耦合、磁性-弹性耦合和压电耦合等过程时，引入弹性波自旋和声子自旋，能帮助我们更好地探索自旋相关的传感和控制技术。

角动量相关的研究，是基础研究和科技发展不可或缺的一环，希望随着我们对弹性波角动量理解的深入，会有越来越多的有趣、新颖且实用的内容被挖掘。

参考文献：

[1] 物理 51, 855 (2022)

http://www.wuli.ac.cn/article/doi/10.7693/wl20221205

[2] Chinese Physics Letters 39, 126301 (2022)

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0256-307X/39/12/126301  

[3] Proc. Natl. Acad. Sci. 115, 9951 (2018)

https://www.pnas.org/doi/abs/10.1073/pnas.1808534115

[4] National Science Review 6, 707(2019)

https://academic.oup.com/nsr/article/6/4/707/5488454

[5] Phys. Rev. Lett. 131, 136102 (2023)

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.131.136102

本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：Young