本文来自微信公众号： 返朴 ，作者：董唯元
最近一则关于量子力学的研究引发关注，论文发表于《英国皇家学会会刊A》，标题是“On computing quantum waves exactly from classical action”（用经典作用量精确计算量子波），作者是来自麻省理工学院（MIT）的Winfried Lohmiller和Jean-JacquesSlotine。
这篇论文中的理论发现非常有启发性，算得上是量子力学的一次认知突破。可惜各路媒体的介绍都透着一股浓重的AI味，要么语焉不详，要么夸大歪曲，既让专业人士浑身难受，又让大众误解重重，把好端端的独特洞见搅成了一团糨糊。想说清楚这种传统认知范围之外的新发现，还得靠古法手动码字。
论文核心要义
这篇论文主要证明了仅从经典物理的最小作用量原理出发，便可以精确计算量子行为，不需要引入费曼路径积分。然而这个理论发现究竟意味着什么，大部分报道中的解读都或多或少有些偏颇失实。
例如几篇最早的报道，都宣称“这个理论发现使量子现象不再神秘，原本对量子世界的解读都是物理学家们自己想多了”。这说得好像我们终于找到了一种用经典图像完全可以建模描绘的量子诠释，从此不需要再面对海森堡不确定性关系和波粒二象性。
实际上，论文给出的第一个公式就已经明确表示，论文中的所有计算，恰是基于“粒子的位置和动量只确定其一，不同时确定”这个前提。企图摆脱海森堡不确定性关系的小伙伴们，怕是要失望了。
至于波粒二象性，一个经典的点粒子同时也是波，也是该论文展开论述的前提之一。在某种程度上说，整篇论文的论证目标恰恰是在强化波粒二象性。这从论文的标题也能看得出来。
论文的两位作者曾明确表示，他们的理论并没有推翻现有量子理论。他们只是提供了一种既有量子理论的数学等价描述。用他们自己的话说，是在量子规律与经典规律之间，架起了一座新的桥梁。
当然，量子世界中的神秘现象远不止海森堡不确定性关系和波粒二象性，这篇来自MIT的论文也确实对双缝干涉、AB效应、量子隧穿、多粒子纠缠等若干量子现象逐一给出了基于新理论的解读。
不过，在新理论的视角下，原本扑朔迷离的量子现象真的变得清澈易懂了吗？这个理论能够为量子理论提供一种新的诠释吗？抑或，即便不构成完整诠释，它作为一颗理解量子现象的新增砝码，会倾向支持各派量子诠释中的哪些派别呢？隐变量理论能迎来转机吗？
这些还真不是一两句话就能简单概括的。想要理解其中的韵味，我们还得从头说起。
作用量与量子相位
稍稍学过一点量子力学的小伙伴们也许都听说过，量子波函数可以写成ψ=eiS/ℏ的样子。式子里的S是作用量。当它跑到指数位置，前面再乘以虚数单位i，就扮演了相位的角色。可是如果追问为什么可以写成这种形式，估计会有许多小伙伴被问懵。
其实，“作用量是相位”这件事，早在量子力学产生之前，就蕴藏于经典物理学中。只是在德布罗意提出物质波概念之后，物理学家们才正式接纳了这个观念。
理论力学中的作用量，最早是以泛函形式S[q(t)]定义的，其中q是空间位置，t是时间。每个随意画出的运动轨迹q(t)都对应着一个作用量S的值。当某个运动轨迹恰好满足δS=0时，这个轨迹就是极值路径。
最小作用量原理的内容就是，极值路径是物理法则上的唯一“合法”路径。射入水里的光线之所以发生折射，炮弹之所以划出抛物线，都是因为最小作用量原理的约束。
哈密顿力学中，作用量S又披上了新马甲，摇身一变成了位置q和时间t的函数S(q,t;q0,t0)，并有个新名字——哈密顿主函数。它被定义为，从点(q0,t0)出发，沿着极值路径走到点(q,t)，沿途累积的作用量。
不难看出，哈密顿主函数是空间里的标量场，如果把它的取值想象成“海拔”，那它就描绘了一座起伏错落的“山脉”。点(q0,t0)的选择只决定了观看整座“山脉”的视角，并不改变“山脉”本身的形状。
而“山脉”本身的形状，又蕴含着一个非常重要的信息，那就是动量p。通过一些数学推导可以得到，p=∇S。哈密顿主函数这座“山脉”的梯度，就是运动物体的动量。这意味着物体的运动方向永远与空间中的“等S面”垂直，运动速度大小由“等S面”的密度决定。
再对比经典的波动方程里，波矢k和相位φ之间的关系，k=∇φ。波的传播方向永远与“等相面”垂直，传播速度大小由“等相面”的密度决定。
看，“作用量S就相当于相位φ”的感觉，是不是已经扑面而来了？没想到吧，在经典物理中，一个运动粒子竟然也可以被视为“波”，以作用量为相位的波。
当然在德布罗意提出物质波概念之前，这种类比仍被大多数人视为一种数学意义上的便利。直到德布罗意大胆捅破这层窗户纸，写出p=ℏk之后，就再也没什么能阻挡相位与作用量直接“滴血认亲”，φ=Sℏ。
方程里的偏差
现在我们终于理解了，把飞行的粒子写成量子波函数ψ=eiS/ℏ简直是天经地义理所应当的。可是，当我们把这个波函数代入到薛定谔方程，奇怪的事情就出现了。
最常见的薛定谔方程是个关于波函数ψ的方程：
代入ψ=eiS/ℏ就得到一个关于S的方程：
这个方程被称为量子哈密顿-雅可比方程（简称QHJ方程），可以视为是薛定谔方程的作用量版本。
为什么说QHJ方程奇怪呢？因为从形式上看，最小作用量原理似乎被打破了。
在经典理论中，遵循最小作用量原理的“山脉”形状，由哈密顿-雅可比方程（简称HJ方程）刻画。
对比经典理论的HJ方程和量子力学的QHJ方程，一眼就能看出，二者相差了橙色的那一项
，不能完全对齐。
等等，我们刚才把波函数直接写成ψ=eiS/ℏ，会不会太草率了，丢掉了一些信息？现在补充个系数，写成ψ=ReiS/ℏ。因为薛定谔方程是线性方程，如果新加的系数R只是个常数，那就跟没加一样，直接约掉了，还得让R也是空间和时间的函数才有意义。
把补充之后的波函数代入，分离实部和虚部，能得到两个方程：
第二个方程很直观，就是在讲ρ=R2这个量是个守恒流。第一个方程是我们得到的QHJ方程升级版。显然，它仍然跟经典的HJ方程对不齐，相差了一个紫色项
。
现在，让我们梳理一下眼前的困局，以下三点似乎无法自洽统一。
作用量是量子波函数的相位；
薛定谔方程；
经典HJ方程。
是bug还是feature
QHJ方程与HJ方程虽然明显不同，但是相差的项都含有一个约化普朗克常数ℏ。这是个宏观尺度下很微小的数。于是便有物理学家开始琢磨，也许HJ方程只是宏观近似结果，微观尺度上，QHJ方程描述的才是真相。
然而HJ方程对应最小作用量原理，放弃微观尺度上的HJ方程，就代表着最小作用量原理这部物理定律中的“宪法”，将在微观世界里失效，只能在宏观世界才成立。
这种观念颠覆性足够强，对整天期盼着新观念、新认知的理论物理学家来说，吸引力非常大。许多物理学家仅凭直觉就开始拥护这一观念，甚至认为那个平平无奇的HJ方程就是经典物理规律的代表，神秘诡谲的量子现象都是因那些QHJ方程中的差异项才产生的。
在这些物理学家眼中，围绕HJ方程的种种不自洽，并非理论的bug，那正是量子世界的feature。尤其是那个包含紫色项的QHJ方程升级版，紫色项
甚至有个专门的名字，量子势。这个差异项里，藏着一整套教科书版量子力学的平替版本——玻姆力学。（可参见《玻姆力学——教科书之外的量子理论》）
读到这里，严谨的读者可能会担心，普朗克常数ℏ虽然微小，可那毕竟是个固定的常数，未必总能保证QHJ方程中的差异项足够小，万一遇到质量m→0或者∇2S→∞的情况，差异项直接原地爆炸，即使在宏观上，也没法守护最小作用量原理了。
这种担心很有道理，所以在相当长一段时间里，类似的约束条件都成了计算无法触及的盲区。直到1948年费曼提出了路径积分表述。从数学形式上看，费曼解决问题的方式很意外，他消除无穷大的方式竟然是索性引入无穷个无穷大。很有一股彻底破罐破摔的霸气。
费曼路径积分表述的数学形式虽然复杂，但其物理思想倒很好理解。费曼干脆完全无视最小作用量原理约定的极值路径，让粒子在出发后化作无数“分身”，每个“分身”都竭尽所能走过所有可能的路径，然后所有分身又在一处“合体”。因为每个“分身”走的路径不同，所以沿途积攒的作用量，即量子相位，也就不同，当它们“合体”时，便发生相互干涉抵消，最终干涉的结果，就只剩下那个对应最小作用量的极值路径。
奥卡姆剃刀
让我们把话题拉回到MIT研究者的那篇论文。
论文通过严谨的数学推导计算，证明了先前对QHJ方程中差异项的理解有偏颇之嫌。至少，把那些花花绿绿的差异项，视为神奇量子规律的藏身之所，或许是一种误判。费曼路径积分表述中的那些“分身”，蕴含着整套玻姆力学的量子势，这些也许都是冗余的理论“赘肉”，可以统统砍掉。
他们究竟是怎么让经典的HJ方程与薛定谔方程和谐自洽的呢？简单来说，就是把波函数的形式写得更聪明些：
这种写法里，那些Sn仍然是扮演着量子相位角色的作用量。重点是，它们不是相互独立的，而是同一个经典HJ方程的解的不同分支！这便涉及论文的关键点之一，允许哈密顿主函数是个多值函数。空间里那座“山脉”，变成了拥有多层分支高低错落的“立交桥”。
为什么空间里的同一点，可以对应多个作用量？论文中阐释了三个来源，但其中最根本也最容易理解的，就只有一个，那便是初始状态不完全确定。
哈密顿主函数S(q,t;q0,t0)是从q0出发沿极值路径走到q所累积的作用量，但是从q0到q的极值路径可能不止一条。比如炮弹的极值路径，如果只确定炮口的位置，不确定炮弹出膛的速度大小和方向，那么同一个弹着点与炮口之间，就存在不止一条极值路径，当然也就存在不止一个作用量取值。
仅允许哈密顿主函数多值还不够，关于那个系数Rn，也有个需要注意的关键点。前文已经提到，每个分支的
是个守恒流，ρn就是经典的流密度。如果我们把ρn当成了遍布全空间的函数来看待，那么把
这个形式代入回薛定谔方程，还是只能得到一组含量子势的QHJ方程，无法还原到经典HJ方程。
MIT的研究者敏锐地察觉到，ρn应该只定义在极值路径上，这样对
求空间梯度，就变成了沿线求偏导。而ρn又是个守恒流，所以在极值路径没有分叉的地方，沿线偏导都是0。既然
也就跟着变成了0。
论文作者另外计算了极值路径交汇或分叉的情况，证明了这些地方不同分支的量子势恰好可以相互抵消。
现在终于真相大白，那些QHJ与HJ的差异项，它们既不是bug也不是feature，它们只是迷惑了物理学家几十年的一场误会。允许经典的哈密顿主函数成为‘多值函数’，那么差异就会在多层“立交桥”累加的结果中消失，经典HJ方程与薛定谔方程一直都是自洽的。
量子诠释的迷雾
维护了薛定谔方程与经典HJ方程的自洽，也就同时挽救了最小作用量原理的“宪法”地位，极值路径又变成了必须遵循的“合法”路径。那么我们又该如何看待这场误会在几十年间催生的各种“美丽传说”呢？
费曼路径积分表述里那些充满浪漫诗意的“分身”，在MIT的论文中被无情抛弃了。有点小小遗憾，好在原本也没有物理学家真的将其视为物理实在。路径积分表述这个称呼中，之所以有“表述”二字，就是在强调这只是一种辅助理解和运算的手段。
事实上，在过去几十年里，路径积分一直是物理学家处理复杂粒子散射、隧穿等“飞行”问题的强力工具，更是量子场论的基石。但它的数学代价是必须引入无限维的路径积分演化。而量子场论里各种唯象的理论模型满天飞，路径积分这点瑕疵根本算不上什么，在今后相当长的一段时间内，路径积分仍然会发挥着不可或缺的作用。
真正被这篇论文伤害到的，大概就是玻姆力学了。量子势是玻姆力学最重要的理论源泉，现在被MIT的论文判定成了空荡荡的幻影，这让本就侧立于理论物理舞台边缘的玻姆力学更加尴尬。
然而有趣的是，MIT的论文虽然放逐了玻姆力学这个隐变量理论的典型代表，但这篇论文自身却散发着更浓重的隐变量味道，甚至可以视为一种玻姆力学的跨越式升级替代。不知出于什么考虑，论文作者非常不愿意承认这一点。事实上，这两位研究者似乎非常刻意回避与量子诠释有关的讨论。
论文作者一再强调，他们的结论完全支持和兼容哥本哈根诠释。尽管波函数已经严格符合经典的HJ方程，但是因为
这个形式中存在多个分支，量子测量发生时，波函数恰好处于哪个分支完全无法事先预测，所以仍然带有内禀随机性。其中的系数Rn，其平方就代表了测量结果发生在各分支的概率密度。
这番解释当然中规中矩合情合理，但是所有学物理的人都知道，声称支持哥本哈根诠释的只有两种人：一种是没有主张；另一种就是不愿说出自己的主张。像两位研究者这样，把决定论的铁钉悄悄钉进波函数内部的思考者，很难相信他们属于第一种。
质疑之声
MIT这篇论文在引起关注的同时，也迎来了许多质疑。反对者的目光大多都集中在
这个结论上，这也是论文的核心支撑点所在。
的理由，是事先认定ρn只能在极值路径上有定义。在反对者看来，这就成了一种循环论证：先假设粒子只能沿极值路径“飞行”，然后再得出结论——粒子不需要经过极值路径之外的其他路径。
来自布达佩斯大学的GáborVattay就为此专门撰写了论文，并也提交给了《英国皇家学会会刊A》。
目前，MIT的两位研究者还没有对这些质疑给出回应。如果想替Lohmiller和Slotine辩护，我倒觉得他们的那篇论文并非空洞的循环论证，Vattay等反对者指出的问题，只是体现了某种自洽性。
当然这个质疑之处确实大大削弱了MIT论文结论的普适性和断言范围，暂时无法确认Lohmiller和Slotine的论证是否适用于所有量子态，只能说对满足特定条件的量子态结论成立。
参考文献
[1]Winfried Lohmiller,Jean-Jacques Slotine;On computing quantum waves exactly from classical action.Proc.A 1 April 2026;482(2336):20250413.
[2]Gabor Vattay,Comment on`On computing quantum waves exactly from classical action',arXiv:2605.02621