本文来自微信公众号： 返朴 ，作者：嘉伟
7月20日，青年学者Levent Alpöge轻描淡写地在社交媒体上宣称，代数几何里非常重要的雅可比猜想是错误的。他借助AI提供的反例极其简明，懂一点微积分就能验证和理解！
而这一切，始于一场乏味的世界杯决赛。
看球，也不耽误数学发现
7月20日凌晨，世界杯决赛在沉闷乏味中进行。Anthropic研究员Levent Alpöge边看球边和朋友Akhil闲聊，听说代数几何中有一个被称为“灾难”的雅可比猜想（Jacobian Conjecture），曾让许多数学家折戟。
或许是为了榨干Fable 5的额度，他索性在看球间隙，顺手把这个问题丢给了AI。
我们还不清楚他一开始抱有多大期望，但几小时后，AI甩出了一个让人“头皮发麻”的反例：猜想不成立！
雅可比猜想长期以来被认为是代数几何和多项式映射理论中的核心未解问题之一。1998年，菲尔兹奖得主Stephen Smale将其列入著名的《下一个世纪的数学问题》（Mathematical Problems for the Next Century）第16题，认为它的解决将对数学发展产生重要影响。
而这个反例如此简明、初等，以至于Alpöge的第一反应是手算验证。他算得“上气不接下气”（“这可是雅可比猜想！”），然后一拍脑袋，想起还有Wolfram Alpha——Wolfram Alpha算一遍，AI是对的。
Alpöge随即在X上发了一条极其随性、连大小写都没区分的推文：
“大家好雅可比猜想是错的感谢我的好友Akhil问起这事也感谢另一位“好友”Fable在世界杯决赛期间加班加点”（Levent Alpöge提到的Akhil，是芝加哥大学数学系教授Akhil Mathew，此人之前曾用AI工具证伪了一个60年前的格罗滕迪克问题）
帖子引来菲尔兹奖得主Timothy Gowers围观，Gowers评价说：“如果这是真的，对我来说，这是LLM（大语言模型）第一次解决了一个不在我研究领域内、但我绝对久仰大名的重大问题。”
懂一点微积分就能理解的雅可比猜想
Alpöge的帖子堪称最具“松弛感”的数学成果发布，却在不到15个小时里获得了1000万次浏览。这可能是被世人最快接受的重大数学结论——无须经年累月的审稿评议，一旦知道了这个反例，只需几行代码，就能在几秒钟内验证其正确性。
传统上认为，雅可比猜想最初由数学家Ott-Heinrich Keller于1939年提出，因此也常被称为Keller问题。后来Shreeram Abhyankar在20世纪70年代的讲座与论文中使用了“雅可比猜想”（Jacobian Conjecture）这一名称。他特意将其包装成一个“只需懂一点微积分就能看懂的问题”，使其在代数几何圈子里广为传播。
在高中或大一的微积分课程中，如果一个一维实函数f(x)的导数f'(x)在整个实数轴上都有f'(x)>0，那么这个函数必定是严格单调递增的。既然严格单调递增，它就不会有“两个不同的x对应同一个y”的情况（即具有单射性），因此它必定在其值域上存在反函数（可逆）。
然而，当进入复数域C或者多维空间时，这个直觉就失效了。
例如复指数函数f(z)=ez，它的导数是f'(z)=ez，在整个复平面上处处不为0。但它却具有周期性：ez+2πi=ez。这意味着许多不同的z都映射到了同一个值，它在全局上是不可逆的。
（从n维复空间映射到n维复空间）局部可逆性的工具叫做雅可比矩阵（Jacobian Matrix），其行列式称为雅可比行列式（Jacobian Determinant），记作det(JF)。
雅可比矩阵由各分量对各变量的一阶偏导数组成。如果det(JF)在某个点不为0，说明这个映射在该点附近是“局部可逆”的。在n维实空间的情形，这就是数学分析课堂上会学到的反函数定理，或更一般的隐函数定理。
隐函数定理无疑是非常有用的工具。在AI找到雅可比猜想的反例后，有人事后反思，为什么数学界没能发现如此平凡的反例？一个俏皮的回答是：或许是因为大家都喜欢隐函数定理。
正因为隐函数定理如此诱人，知道了“局部可逆”之后，代数几何学家们就忍不住想：如果一个映射是由最简单的多项式构成的，而且它的雅可比行列式极其完美——不仅不等于0，甚至在整个空间的每一个角落都等于同一个非零常数（如处处等于2），那会怎样？
1939年，数学家Ott-Heinrich Keller正式提出：
如果我们不考虑一般的复杂函数，只考虑最简单的“多项式映射”（每个分量都是多项式），并且限制它的雅可比行列式det(JF)必须是一个非零的常数c（即不包含任何变量x,y,z...），那么，这个映射是否在“全局”上也必然是可逆的，并且其逆映射也必须是多项式？
对该问题的肯定性推测，就是著名的雅可比猜想。
R.Hartshorne的著名教科书《代数几何》第1章第3节的练习题。上面写着“The converse of(a)is an unsolved problem,even for n=2”。但没想到先发现了n>2时的反例，留下了n=2的情况。
王穗生（Stuart Sui-ShengWang）于1980年发表的论文证明雅可比猜想在多项式总次数为2的情形下成立：若映射的每个分量都是二次多项式（或整体次数≤2），且雅可比行列式为非零常数，则该映射有多项式逆映射[1]。
后来Hyman Bass、Edwin Connell和David Wright证明：若要证明一般情形的雅可比猜想，只需证明一个更窄的特例——即只需处理次数为3的情形；更进一步，可以只考虑“齐次三次型”情形[2]。
文章开头说它是个“灾难”性的猜想，除了难度和重要性之外，还有一个缘由：它是错误证明的重灾区。历史上有众多知名数学家前赴后继，宣布证明了雅可比猜想，甚至将长篇大论发表在了顶刊上，但随后都被找出了致命的漏洞。这在数学史上并不多见，可以说，雅可比猜想是数学界最危险的诱惑之一。
错误证明的“受害者”名单星光熠熠，其中不乏数学界的泰斗。比如20世纪意大利几何学派的重要代表人物之一Beniamino Segre至少提交了三个错误证明[3、4、5]。这份名单还包括著名代数几何学家Wolfgang Gröbner、印度裔美国数学大师Shreeram Abhyankar。
也能从中看出，它曾经是很多数学家为之努力大半生的核心课题。
让我们亲自算一下
之前说这个反例如此简洁、清晰，每个人几乎都能很快理解，为什么雅可比猜想是错的。现在，让我们一起计算一下。
Levent Alpöge的声明中给出了一个从三维复空间映射到三维复空间的具体多项式映射
其中三个分量多项式具体为：
一个映射要“全局可逆”，首先必须是“单射”（即不能出现不同的输入映射到同一个输出）。
声明中给出了3个完全不同的三维空间输入坐标：
点A=(0,0,-1/4)；
点B=(1,-3/2,13/2)；
点C=(-1,3/2,13/2)。
我们将这三组坐标分别代入F(x,y,z)的公式中进行验证，结果全是：F(A)=F(B)=F(C)=(-1/4,0,0)。
因此，映射F绝对不是单射，也绝对不可能全局可逆。
现在我们再来看看，它的雅可比矩阵的行列式的值是不是非零？
借助著名的科学计算应用Wolfram Alpha，可以看到它的值确实是-2！
调用网页科学计算器WolframAlpha的计算结果|图源：https://www.wolframalpha.com/
如此，找到了一个多元映射F。它的分量都是多项式，并且偏导数矩阵的行列式是一个非零常数（-2），但F不是单射。所以著名的雅可比猜想不成立。
或许有读者朋友意识到，找到的反例还挺简单的——只能说，认为原猜想成立，或许是人类太一厢情愿了。同时，人类数学家的运气也很差。虽然反例近乎平凡，但这个结果还是非常重大，因为之前一大批顶尖数学家围绕它付出了大量的努力。起码以后不会再做无用功了。
或许，最初称其为“雅可比问题”而非“雅可比猜想”会更好。文末的参考文献[6]，详细记录了1997年时学术界支持与反对该猜想成立的论据。有趣的是，在最终的投票表决中，高达62%的参与者倾向于认为该猜想并不成立。
同时众所周知，著名的Dixmier猜想——即Weyl代数的每一个自同态（endomorphism）都是自同构（automorphism），稳定等价（Stably Equivalent）于雅可比猜想。所以现在知道Dixmier猜想也不成立。类似地，还有一个涉及Poisson代数的Poisson猜想，应该也已经被判了死刑。
雅可比猜想不成立，众多猜想随之证伪。|图源：Przemek Chojecki
AI是怎么找到反例的？
人们开始借助AI工具，推测Alpöge构造反例的思路。一开始有人用Fable 5找到了几篇古老的论文。这些论文尝试构造了若干类似的多项式，但最后棋差一招。人们怀疑Fable 5最初是靠着检索这些文章，在前人的思路上找到了正确的方向。
但不久之后，有人用GPT得到以下输出结果:
这个思路如此有效，又如此简单，就像是美国代数几何学家Joe Harris的经典教材Algebraic Geometry:A First Course前几章的课后习题。
Levent Alpöge证实，他的Fable思考过程与之类似。每个三次式可以（在某些情况下）分解成一条直线因子和一个二次因子。选择这种分解方式，相当于在原来的空间上加了额外的结构，得到一个三重覆盖空间。
这样处理后，得到的映射就是一个𝐴3→𝐴3的态射（即三维仿射空间到三维仿射空间的多项式映射）。这类映射正是雅可比猜想讨论的对象：如果它的雅可比行列式是常数（非零），那么它是否一定是双射？这就是雅可比猜想的核心。
事实上，与“门外汉用AI攻克难题”的流行叙事相反，Levent Alpöge在数学界并不是无名之辈。
他是美籍土耳其裔数学家，极有含金量的哈佛大学学者协会（Harvard Society of Fellows）的青年研究员（Junior Fellow），主要研究方向是数论与算术统计，博士导师是著名数学家、菲尔兹奖得主Manjul Bhargava[7]。
Levent Alpöge自拍|图源：Levent Alpöge
几年前，他与自己导师，以及以色列希伯来大学Ari Shnidman计算了有多少整数能写成2个有理数立方之和。这是不久前才成型的前沿数学分支——算术统计领域里的里程碑之作。这个问题与千禧年七大百万问题之一的伯奇–斯温顿‑戴尔猜想（Birch–Swinnerton‑Dyer,BSD）之间，存在深刻的联系。
除了上面的工作之外，他与Bhargava、Ari Shnidman继续合作，研究三次、四次数域的单生成性（monogenicity）问题，并证明正比例的数域不是单生成的。他还证明了平均椭圆曲线上的整点数量有界，以及参与研究在数域整数环上的Hilbert第十问题，提出算法性结果[8]。
在博士后的项目结束后，Levent Alpöge没有选择留在学术界，而是加入了迅速崛起的AI企业Anthropic。
这才有了文章最开始的一幕。
现在，我们虽然已经知道，雅可比猜想在一般情况下并不成立，未来的研究方向或许是寻找使得猜想成立的特殊情况。
很多人在谈论4年一度的数学家大会。有人大胆推测，下一届菲尔兹奖得主里或许就有某个AI模型。甚至Gowers也在不公开场合赞同这个观点：下一届可能性很小，但下下届就不一定。国内一些青年学者戏称Gowers提出了“人类消除定理”——在数学活动中消除人类的定理。无疑，Fable 5的这次应用会让不少人更加忧虑数学的未来，同时让另一部分人更加期盼AI的未来。
最后，这个猜想和著名数学家张益唐有关。
为张益唐带来“灾难”的猜想
张益唐半生蹉跎，可以说与这个猜想渊源颇深。
张益唐的博士学位论文首页。|图源：www.math.purdue.edu
我们能在网上搜到一些文章，如《莫宗坚与张益唐：一段未竟的师生和解》如此介绍这件事：
“张益唐把120页论文交到导师莫宗坚手里，心里笃定自己攻克了那座“峭壁”。论文的核心引理直接引用导师1983年的结果……然而，审稿人很快发现：那条引理在一般情形下并不成立。论文被无限期搁置。莫宗坚觉得学生‘太急’，张益唐则认为导师‘有错不认’。更致命的是，莫宗坚拒绝为他写推荐信——在北美学术圈，这无异于关上了所有大门。张益唐背着‘失败’的标签离开普渡，此后端盘子、送快递、睡地下室……”
笔者找到了张益唐博士学位论文的官方存档[9]。这份存档只有22页，不是120页；而且它只假设了雅可比猜想的前提条件——雅可比行列式为非零常数，然后试图推出一个较弱的域扩张次数上界。这与流传最广（甚至北大官网也采纳过）的说法——张打算证明雅可比猜想——并不相符。不过根据张益唐在纪录片里的自述，他确实是打算在博士学位论文里证明这一猜想。所以并不能断言流传的说法是错的。
最近非常活跃的青年数学家、菲尔兹奖得主JamesMaynard的弟子Jared Duker Lichtman借着这个机会向西方数学界推介张益唐的纪录片。
需要强调，此次AI证伪的是三维及更高维的雅可比猜想；而张现存的这篇论文研究的是二维雅可比条件下的函数域扩张次数。两者属于同一问题体系，反例推翻了一般情况下的雅可比猜想，但根据莫宗坚得到的一个非常著名的结果——他在1983年中验证了二维时多项式次数不超过100的所有情形——二维情况下的雅可比猜想很有可能是正确的。
然后，普渡大学收录的那篇论文也没有“被无限期搁置”，而是通过了！所有官方记录都显示，他于1991年在普渡大学获得博士学位，论文题目为The Jacobian Conjecture And The Degree of Field Extension，导师为Tzuong‑Tsieng Moh（莫宗坚）。
无论这中间发生了什么，总之后果是所有人都已知道的：莫没有给张写推荐信。张益唐因此找不到正经的学术工作，只能打零工，熬到58岁才名动天下。
最后说明一下，20年前中国计量学院陈彭年教授主持的国家级科研项目《非线性系统镇定和非线性逼近》研究成果，曾成功破解世界著名难题——Jacobi猜想。这里指的是另一个同名问题，大致上属于ODE方向的课题。
参考来源
[1]A Jacobian criterion for separability,Journal of Algebra,65(2):453–494
[2]The Jacobian conjecture:reduction of degree and formal expansion of the inverse,Bulletin of the American Mathematical Society,Vol.7,No.2,pp.287–330
[3]Corrispondenze di Möbius e Transformazioni cremoniane intere,Atti Accad.Torino Sci.Nat.91(1956–57),3–19.
[4]Beniamino Segre,Formedifferenziali e loro integrali,Vol.II,Roma:Docet,1956.
[5]Beniamino Segre,“Variazione continua ed omotopia in geometriaalgebrica,”Annali di Matematica Pura ed Applicata,Series IV,50(1960),149–186.
[6]https://seminariomatematico.polito.it/rendiconti/cartaceo/55-4/283.pdf
[7]https://people.math.harvard.edu/~alpoge/cv.pdf
[8]Levent Alpöge：https://alpo.ge/
[9]https://www.math.purdue.edu/~ttm/Zthesis.pdf
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